关于随机事件独立性的教学探讨

罗羡华

摘要：随机事件的独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。本文讨论了随机事件独立性定义的方式选择问题，分析了由两个事件到三个事件、由有限个事件到无限个事件的独立性概念的递推过程。

关键词：随机事件；独立性；平凡事件；互不相容；条件概率

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）14-0085-03

一、前言

随机事件的独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。随机事件独立性的概念貌似直观，由二个事件到三个事件、由有限个事件到无限个事件的独立性概念转换递推过程中，许多初等概率论与数理统计教材只是述而不证，在一些细节上缺乏讨论，容易造成学习上的困难。本文的主要目的在于对事件独立性这个概念的一些细节问题进行讨论，便于读者理解事件独立性概念。

二、两个事件独立性定义的方式选擇问题

设有两个事件A与B，一般地，事件A发生的无条件概率P（A）与其在给定事件B发生的条件下的条件概率P（A|B）是不相等的，此时表明了事件A与B之间存在某种关系。当P（A|B）>P（A）时，表明事件B的发生导致事件A发生的可能性增大。当P（A|B）

定义1[1]：设（Ω，F，P）为一概率空间，A，B∈F为两个事件，且P（B）>0，如果

则称事件B随机独立于事件A，简称B独立于A。

由定义1和定义2，如果A独立于B且B独立于A，则称A与B相互独立。进一步注意到，根据概率的乘法公式容易证明如下性质成立。

性质1：设（Ω，F，P）为一概率空间，A，B∈F为两个事件，且P（A）>0，P（B）>0，则A独立于B等价于B独立于A。

因此根据性质1，可以得到A与B相互独立的如下定义。

定义3：设（Ω，F，P）为一概率空间，A，B∈F为两个事件且P（A）>0，P（B）>0，如果P（A|B）=P（A），则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。

应该注意到定义3与定义1的区别：增加了条件P（A）>0的约束。一个事件独立于另一个事件也可用一种非常类似的方式来描述，即是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的可能性无影响。可用数学式子来刻画之：如果事件B发生的概率0

在概率论中常用（4）来充当两个事件独立性的一般定义。

定义4[1]-[4]：设（Ω，F，P）为一概率空间，A，B∈F为两个事件，如果（4）式成立，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。

用定义3来刻画两个事件的独立性，其优点在于两个事件的独立性概念的直观理解，缺点在于受到条件P（A）>0，P（B）>0的约束，而且不便于推广到多个事件的独立性。而用定义4来刻画两个事件的独立性，虽然在两个事件的独立性概念的理解上不那么直观，但是其好处在于：其形式关于两个事件是对称的，不会受到条件P（A）>0，P（B）>0的约束，即，当P（A）=0或P（B）=0时它仍然成立，从而它总是有意义的，而且便于推广到任意多个事件的独立性[1][2]。

注1：由性质2可知，当P（A）=0或P（B）=0，定义4与定义3是不等价的。当P（A）>0，P（B）>0时，定义4与定义3是等价的，此时，再根据性质1可知，A独立于B，B独立于A，A与B相互独立，三者等价。这种情形下，术语“A独立于B”与“A与B相互独立”可以交替使用。一些教材，例如文献[5]，在讨论这个问题的时候，并没有强调条件P（A）>0，P（B）>0的约束，请读者加以注意。

注2：当P（B）=0时，也可以给出条件概率P（A|B）的定义，这一般是属于高等概率论的研究内容，超出本文的讨论范围，有兴趣的读者可参考有关专著或教材，例如，文献[6]给出了相对容易理解的条件概率的严格定义。

注3：在判断两个事件独立时，可用定义4来验证。但是，在许多实际问题中，常常根据实际意义或实际背景或经验来考察两个事件有无相互影响，从而判断这两个事件的相互独立性[1]-[4]。用实际意义、背景、经验来判断事件独立性的理由来源于一个所谓的因果独立性的概念。如果能够从所研究现象的性质中判断出两事件A与B之间不存在任何因果关系，则称事件A与B是因果独立的，此时，也就自然地认为它们是相互独立的[7]。

注4：如果事件A满足P（A）=0或P（A）=1，则称事件A是平凡的。如果事件A满足0

三、三个事件独立性定义的问题

八、结语

随机事件的独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。随机变量的独立性、随机试验的独立性、事件域的独立性等概念都可以源于事件的独立性的概念。因此，深刻理解事件独立的概念对随机变量独立性等概念的学习理解具有重要作用。

参考文献：

[1]梁之舜，邓集贤，杨维权，等.概率论与数理统计（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.

[2]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1992.

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.[5]Dekking，F.M. Kraaikamp，C. Lopuhaa，H.P. et al. A Modern Introduction to Probability and Statistics：Understanding Why and How[M].London：Springer-Verlag，2005.

[6]郑忠国，童行伟，赵慧.高等统计学[M].北京：北京大学出版社，2012.

[7]Cramer，H. The Elements of Probability Theory and Some of Its Applications[M].New York：Wiley & Sons，1955.

[8]Shiryaev，A. N. Problems in Probability[M].New York：Springer，2012.

[9]Borovkov，A. A. Probability Theory[M].London：Springer-Verlag，2013.

[10]毛綱源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1999.

[11]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：北京师范大学出版社，1996.

[12]林正炎，白志东.概率不等式[M].北京：科学出版社，2006.

Abstract：The independence of random events is one of the important concepts in Probability and Statistics. The selection of the patterns of definition of independence on random events is discussed in this paper. The recursive process，from two to three events and from finite to infinite events，on the concepts of independence is also analyzed in this paper.

Key words：random event；independence；trivial event；mutually exclusive；conditional probability