向量在高考数学中的运用

徐婧

摘 要：向量这一概念，在我们的高考数学中占据着重要地位，也成为了考试的热点之一。向量是一种数学工具，能够将计算问题转化为几何问题，是数形结合必不可少的一种重要手段。向量在很多领域都能体现自身的价值，运用向量方法解决数学问题，可能收到意想不到的效果，能够大大提升解题速度，提高题目正确率。本文从向量在高考中的地位着手，将数量积、法向量、向量的模等知识点引入到高考数学重要的热点、难点问题中去，简单介绍了向量在高考数学中的应用。

关键词：向量 高中数学 高考 应用

随着我国教育水平的提升，向量理论快速发展。由于在后续大学的专业教育中，很多专业如力学专业、物理学、机械类等都需要具备一定的向量知识，所以向量得到了重视，高考中所涉及的向量问题也越来越多。将向量问题运用到高考数学中来，既能提升我们的解题速度，更能培养我们的发散性和逻辑性思维。

1.向量在高考数学中的地位

向量理论是近代数学理论中的基础和重要概念之一。向量能够联系起代数、几何和函数不等式，并成为了解决问题的有力武器。向量可应用范围广，可渗透进很多的数学理论中，并形成新的分析思路和解题方法。向量问题归根结底是数形结合问题，将代数运算转化为几何关系，再通过向量的代数运算得到结果，既直观又准确。向量将函数、不等式、三角函数、复数、平面几何、解析几何等数学内容交叉联系起来，通过另一种思路和方法解决这些问题，有时候能够收到事半功倍的效果，而向量在高考数学中也占有着不可替代的地位。

2.向量在高考数学中的应用

以下通过实例来分析向量在高考数学中的应用形式。

2.1向量在函数导数中的应用

例1：已知向量 ， ，若函数 在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

解：根据向量的运算可知， ， ，若 在（-1，1）上为增函数，则 ，因为 图像开口向下，当且仅当 且 时成立，得出t的取值范围 。

本道高考题，看似是与函数有关，其实就是在考察向量的内积运算，得出三次函数 ，分析参数的取值范围，达到题设的条件。合理的使用向量方法，将题目逐步转化为完全的函数问题，运用函数性质和理论处理向量问题，注重向量的引导性作用。

2.2向量在三角函数中的应用

例2：已知向量 ， ， ，且 ，求 的值。

解：

由已知得， ， ，所以，

利用单位圆看待和研究三角函数时，三角函数本质上就是向量。也就是说，向量能够表示出三角函数。使用向量问题解决三角函数问题就是将三角函数运算图像化、直观化，简单明了，更能体现向量的价值。

2.3向量在平面几何中的应用

例3：O是平面上的一个点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过三角形ABC的__心。

解：设 ， ，分别为AB和AC上的单位向量，所以， 向量所对应的方向是三角形中角BAC的角平分线AD的方向。因为 ，所以， 的方向相同，而 ，即点P在AD上移动，P的轨迹过三角形ABC的内心。

平面几何就是主要研究图形的数学问题，向量法能够有效的处理三角形的三线四心问题，中线、角平分线、高、重心、垂心、内心、外心等。在处理这些问题中，使用向量方法，可以不再纠结平面几何关系问题，不用考虑辅助线，不用理清楚线线、线形之间的复杂关系，只需要根据题目条件列出向量式，通过计算的方法，就能轻松的解决问题。

2.4向量在解析几何中的应用

例4：椭圆 的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当角F1PF2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是____。

解： ，设P（x0，y0），则 ，因为角F1PF2为钝角，所以 ，得 ，又由于 ，即 ，所以 。

向量在解析几何中的应用要比平面几何更有效、更适用，也更有针对性。因为向量可以通过坐标表示，有自身的一套坐标计算方法，而解析几何就是通过坐标的表示计算，将平面几何问题转化为直接的数学计算，更加精确也更直接。正是由于两者的共性，向量与解析几何有着密不可分的天然联系。举几个例子，平面直角坐标系中两点间的距离就是以这两点为起始终止点向量的模；两直线垂直就是两向量内积为零；两直线平行、斜率相同就是相应向量对应坐标成比例等。如果在这些问题中考虑使用向量方法，就不在考虑平面关系，而是直接计算得出结论，能够忽略由于难以做出几何判定而题目难以进行的问题。

3.结语

向量是一个数学模块的交叉点，有着许多的数学应用，有着独特的多样化，有着巨大的活力和潜力。向量是一种数学工具，它建立起了从代数到几何的一个桥梁，将代数问题几何化能够更直观，更形象，思路更加清晰，分析更加容易；将几何问题代数化能够更简便易行，更具有解题规律，只看重公式计算，忽略由于几何判断不准所导致的错误问题。一旦能够运用向量数形结合，兼具优势，向量以其方法的程序性、快捷性、灵活性和实用性就能成为一种解题利器，因此是高考知识点中较为突出的部分。向量对于我们高中学生高考成绩、未来发展都至关重要，在解题过程中我们应该多多尝试使用向量方法，对比总结，最终形成自己的一套解题思维。但需要注意的是，向量有其独特优势，但也存在不足，就是计算量较大，计算难度较为复杂，需要我们耐心细致。

参考文献：

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