POD方法在风洞试验二维速度场分析中的应用

巴玉龙 /

(上海飞机设计研究院，上海201210)

POD方法在风洞试验二维速度场分析中的应用

巴玉龙 /

(上海飞机设计研究院，上海201210)

针对风洞试验二维速度流场，构建了正交分解与流场重构的数学模型。通过对鼓包背风面PIV瞬时速度流场进行分解，发现阶数越低的模态对原始流场的能量贡献率越大，代表了流场中的低频、大尺度流动结构；反之，阶数越高的模态对原始流场的能量贡献率越小，代表了流场中的高频、小尺度流场结构等信息。通过对流场进行低维重构，发现前4阶重构流场几乎不受一些小尺度旋涡的影响，很清晰地显示了流场的主要结构。

本征正交分解；POD；模态；风洞试验；流场重构

0 引言

飞机设计过程中，通常需进行大量风洞试验，试验中经常需采集大量数据。因此需发展一种后处理方法来对这些数据进行后处理，以得到其中蕴含的最主要信息，从而帮助飞机设计者认识到试验本质。本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，简称POD)就是其中最有效的方法之一，能够解决复杂的多元非线性问题。POD的本质就是将一系列的测量数据分解为若干模态，各模态所含能量不同，其中能量最高的就是最主要的流动结构。如果被测流场是由几个主控结构组成的，那么通过POD方法就可将这几个结构按能量高低依次展示出来，从而找出在流场中起主控作用的流场结构。

POD方法最早在1967年提出，Lumley等[1]将其引入到流体力学的分析中。POD的实现方法主要有两种，一种是Classic POD，主要针对同一图像中不同点之间的相关性进行分析；另一种是Snapshots POD，主要针对相同位置的点，对沿时间轴分布的多幅图片中的相关性进行分析。近年来，POD方法被大量应用到科学研究与工程试验中。阳详等[2]将POD方法应用在数值模拟得到的径向旋转方通道内的湍流数据处理中，得到湍流大尺度结构，加深了对湍流结构的认识。廖俊等[3]将POD方法应用在非平稳随机振动响应的计算中，增加了计算效率。李元齐等[4]对球面及柱面壳体模型进行了风洞试验研究，发现利用POD方法能有效地从整体上把握这类建筑物表面的风压分布规律。李璟等[5]在平屋面风场本征正交分解与重构研究的基础上，将谐波合成法与基于协方差矩阵的POD方法结合起来，首次提出适用于屋盖结构的风场两步模拟法。Dipankar等[6]与Feng等[7]将POD方法应用到圆柱绕流分析中(et al., 2007; et al., 2010; Feng et al., 2011)，能形象地观察到圆柱后缘旋涡脱落的规律。

可见，POD方法被大量应用到科学研究与工程试验中。本文以风洞试验得到的速度流场为例，介绍Snapshots POD方法在风洞试验二维速度场分析中的应用。在工程风洞试验中，如果试验得到的是三维流场，可以利用本文介绍的方法对某些关键剖面的流场进行二维POD分析，从而达到对整个流场进行分析的目的。

1 POD方法的基本原理

POD方法的本质问题是通过计算得到函数空间{qk∈L2(Ω)|k=1,2…,M}的一组“最优”正交基{φi|i=1,2,…,∞}，这里的“最优”意味着使函数空间投影到正交基上产生的误差达到最小。这个问题就能得到由特征向量φi组成的正交基{φi}，从而函数空间{qk}能够用正交基{φi}来表示：

(1)

其中ak=(qk,φi)。

SnapshotsPOD方法就是用原函数空间元素qk的线性组合来表示特征模态。具体做法如下，首先对于一个具有N个snapshots的二维速度场V(x,y,t)，可以用一个矩阵U来表示这个流场的全部速度脉动信息，即

(2)

(3)

计算特征值问题：

(4)

将该式求得的特征值λi与所对应的特征向量Ai按λi大小重新排列使得：

(5)

(6)

就代表了第i阶POD模态φi所包含的“能量”(反映了该模态所包含的信息对流场的贡献程度)。POD模态可以构建为：

(7)

从而得到模态矩阵Φ：

(8)

其中第n个snapshot所对应的POD模态系数ai为：

(9)

利用上面所求得的POD系数ai与所对应的模态φi来重构二维速度流场，可得：

(10)

理论上讲，通过上式可以重构出与原始流场一模一样的流场V(x,y,t)。然而，在实际操作中，为了简化计算，一般只计算包含原始流场前99%能量的模态信息。

2 POD分解二维速度场

如果对POD分解后的各阶模态按照能量贡献率从大到小排序，阶数越低的模态对原始流场的能量贡献率越大。假设周期性或准周期性变动的流场低频、大尺度的速度场占主导地位，那么从物理的角度可以认为低维模态表征流场中的低频、大尺度流动结构，而高阶模态表征流场中的高频、小尺度脉动，或者是背景噪声等信息。

Wang等人[7]为了尝试研究鼓包背风面的分离流场，对一个典型的二维鼓包背风面流动进行了速度流场试验测量。测量仪器为二维PIV系统，该系统采用连续的激光器作为光源，激光器功率1.5W，波长532nm。示踪粒子直径为5μm～10μm，平均密度1.05g/mm3的空心玻璃微珠，记录仪器采用分辨率为640×480像素的高速CCD相机。数据采集频率为100Hz，电子快门曝光时间间隔为5ms，试验中每个工况均拍摄3组，每组记录的图像数量均为1万幅，软件系统的相对测量误差为1%。

以Wang等人[7]通过PIV试验得到鼓包背风面速度流场为例，利用snapshots POD方法对其中某一瞬时流场进行分解，得到的法向速度流场的前四阶模态如图1所示，伪彩色代表了脉动速度的大小(各模态色标均与第一阶相同)，从而红色与蓝色区域分别表示流场中的高速区与低速区(或回流区)。前四阶模态系数随时间的变化如图2所示，由图可知，一、二阶模态相互耦合，三、四阶模态相互耦合。前两阶模态的系数随时间呈明显的周期性变化，且振幅远远大于三、四阶模态系数的振幅。图3显示了各阶模态所含的能量与流场全部能量的百分比。由图可知，前两阶模态包含的能量明显大于其它模态，前两阶模态对流场贡献35%以上的能量，前四阶模态贡献大约50%的能量。

鼓包背风面的分离流动与大迎角机翼上表面的流动分离相似，边界层分离后流场的不稳定扰动急剧增大，并很快增长到最大值，随后沿流向慢慢衰减。分离剪切层由于受K-H不稳定(Kelvin-Helmholtz instability)扰动而失稳产生展向涡结构，这些涡结构周期性的向下游发展。由图1可知，该瞬时流场中，旋涡发展到流向1.5 的位置附近。

3 POD重构二维速度场

既然阶数越低的模态对原始流场的能量贡献率越大，代表了流场中的低频、大尺度流动结构。那么，可以应用低维模态对原始流场进行低维重构，组成新的流场。这种新的流场保留了原始流场的主要结构和信息，剔除了部分高频干扰及噪声干扰的影响，有助于对流场的分析。

对图1所示分解后的流场进行低维重构，并用伪彩色代表旋涡强度，得到的前4阶、前20阶、前100阶重构流场与原始流场的对比如图4所示。旋涡强度的优点是不受速度边界层的干扰，能很容易辨识出旋涡。由图可知，POD前4阶重构流场几乎不受一些小尺度旋涡的影响，很清晰地显示了流场的主要结构。随着POD重构维数的增大，小尺度旋涡结构逐渐增多。前100阶重构流场几乎与原始流场毫无差别。在实际的数据分析中，前4阶重构流场是最常用的。

由图4可知，前4阶重构流场保留了鼓包分离剪切层失稳产生主要涡结构，剔除了其它一些非主要旋涡的干扰。虽然这些非主要旋涡与主涡结构在原始流场中也较容易分辨，但在三维流动中，流场结构变的非常复杂。这时如果在某些关键剖面对流场进行低阶POD重构，将很有助于研究者抓住主要旋涡结构。

4 结论

本文介绍了POD的基本原理，并在此基础上建立了风洞试验所得到的二维速度场通过snapshots POD分解与流场重构的数学模型。以鼓包背风面PIV瞬时速度流场为例， 应用POD分解与重构模型对上述流场进行了分析，发现通过POD能对流场的信息进行分解后，高阶模态包含着流场中的高频、小尺度旋涡信息，低阶模态包含着鼓包分离剪切层失稳及分离后的主要旋涡信息。这些主要旋涡结构是流场的本质，为了在不受小尺度旋涡干扰的情况下研究流场的本质，对鼓包背风面流场进行POD低维重构。对重构后的流场研究表明前4阶重构流场保留了鼓包分离剪切层失稳产生主要涡结构，剔除了其它一些非主要旋涡的干扰，为鼓包分离流场的分析提供了便利。可见，POD重构流场为流场分析提供了一种有效手段。

[1] Lumley J L．The structure of inhomogeneous turbulence[C]. Moscow: Proc atmospheric turbulence and wave propagation，1967: 166-178.

[2] 阳详，丁鹏，李增耀，等．基于POD方法的湍流大尺度信息提取与分析[J]．工业热物理学报，2010，31(6)：1019-1022．

[3] 廖俊, 孔宪仁, 徐大富,等．基于正交分解法的非平稳随机振动响应计算[J]．宇航学报，2010，31(12)：2651-2656．

[4] 李元齐, 沈祖炎.本征正交分解法在曲面模型风场重构中的应用[J]．同济大学学报(自然科学版)，2006，34(1)：22-26．

[5] 李璟，韩大建．本征正交分解法在屋盖结构风场模拟中的应用[J]．工程力学，2009，26(3)：64-72．

[6] Dipankar A，Sengupta T K，Talla S B. Suppression of vortex shedding behind a circular cylinder by another control cylinder at low Reynolds numbers[J]. Journal of Fluid Mechanics，2007，573：171-190．

[7] Feng L H，Wang J J，Pan C．Effect of novel synthetic jet on wake vortex shedding modes of a circular cylinde[J]． Journal of Fluids and Structures，2010，26：900-917．

[8] Wang J J，Ba Y L，Feng L H．Experimental investigation on laminar separation control for flow over a two-dimensional bump[J]．Journal of Turbulence，2014．

Application of POD Method in 2D Velocity Flow Filed Analysis in Wind-tunnel Test

BA Yulong

(Shanghai Aircraft Design and Research Institute, Shanghai 201210, China)

A mathematical model is constructed to analyze velocity flow filed of wind-tunnel test using POD method. Based on this model, the instantaneous velocity field at the leeward side of a bump is analyzed. The results show that the first few POD modes occupying most of the energy represent the large-scale coherent structures that dominate the global flow field while higher POD modes occupying less energy represent the small-scale structures and background noise. The reconstructed velocity field by the first four POD modes can exclude small-scale flow structures, containing only large-scale structures, which researchers are interested in.

Proper orthogonal decomposition; POD; mode; wind tunnel test; reconstruction

10.19416/j.cnki.1674-9804.2017.01.014

V211.7

A