深部回采矿柱失稳的尖点突变理论分析及宽度优化*

过 江，冯永菲

(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083)

0 引言

采场结构稳定性问题贯穿于整个地下开采过程。维护采场结构稳定是地下采矿工作顺利开展的关键所在。矿柱作为采场结构的表现形式之一，具有支撑顶板和保护充填体的作用，其稳定性对大范围采场稳定性有着至关重要的影响。矿柱一旦失稳，就可能会造成顶板冒落、充填体垮落、现场工作人员受伤与设备损毁等重大灾害事故发生。相关研究表明，矿柱宽度是影响矿柱稳定性的可进行定量分析的关键因素之一。矿柱宽度越大，其承载能力越强，稳定性越好。但是，矿柱宽度设计过大，就会造成资源浪费，采出率降低等损失。为充分回收矿产资源，需要在保证采场安全的条件下设计矿柱宽度，并且矿柱设计宽度不能过大。因此，合理设计矿柱尺寸对保证矿柱稳定性和采场安全显得尤为重要。

目前，国内外学者在矿柱稳定性分析方面做了大量研究。Ebrahim G等[1]运用J48和SVC等模型预测不同宽高比的硬岩矿柱的稳定性，并证明2种方法在预测矿柱稳定性方面具有较好的预测能力；Fan F等[2]运用有限元和离散元相结合的方法对不同高宽比的矿柱失效模式进行模拟，得出随着高宽比的减小，矿柱经历了剪切、剪切拉伸和表面平行分层失效的破坏过程；曹帅等[3]基于弹性力学平面应变理论对胶结充填体矿柱应力进行理论求解，分析了不同矿柱宽度条件下水平应力和剪切应力的变化规律；张涛等[4]运用折减法不断折减矿柱宽度研究矿柱失稳的演化过程，并得出矿柱安全留设宽度值；尹升华等[5]通过对影响矿柱稳定性的因素进行敏感性分析，得出矿柱宽度与安全系数的关系曲线，并确定矿柱安全宽度值；王明旭等[6]通过声发射试验研究发现加载条件下充填体与矿柱相互作用主要在二者接触带和充填体内部发生破坏；邓建等[7]运用可靠性方法分析充填体作用下临时矿壁的稳定性，并得出临时矿壁的合理宽度。

总体上，学者们对矿柱稳定性的研究均取得较有意义的结果。但是，在矿柱合理尺寸设计方面还需深入研究。在没有充分研究矿柱的承载机理的条件下分析计算会导致深部回采中矿柱留设宽度过大，在一定程度上不能实现资源的最大化回收，因此，需要研究矿柱承载机理。矿柱受工程、地质等多种因素的影响，其发生失稳破坏的受力变化过程较为复杂，具有随机性、非线性、不确定性等特点。该变化可以用非线性科学中的尖点突变理论进行分析研究。尖点突变理论在地下矿岩中具有广泛的应用性。王贻明等[8]运用尖点突变理论研究了充填体作用下临时矿壁的失稳机制，计算出临时矿壁失稳的充要条件；谭毅等[9]研究了条带式Wongawilli开采煤柱系统突变失稳机理，得出了窄煤柱与条带煤柱的突跳压缩量计算公式，并得到很好的应用。此外，运用该理论研究矿柱稳定性取得很好结果的还有赵康[10]、张钦礼[11]等。因此，本文研究矿柱的承载机理，并运用尖点突变理论分析矿柱失稳机理，推导出矿柱宽度表达式。在此基础上，结合冬瓜山铜矿工程实例，对计算所得结果进行数值模拟验证和现场工业验证，说明结果的合理性。

1 矿柱力学模型及受力分析

为简化分析，做出如下假设：(1)矿柱是均匀连续的各向同性体，不考虑矿柱自重，且均匀分布；(2)充填体与矿柱接触面上的剪切应力忽略不计，并且接顶情况较理想。在有充填体和上覆岩层压力共同作用下的双矿柱力学模型如图1所示。图中，P为上覆岩层压力，F为充填体对矿柱的水平作用力，h为矿柱高度，W为矿柱宽度。竖直方向和水平方向的压力作用于矿柱，可将矿柱视为弹性杆，则矿柱的破坏形式表现为竖直方向力和水平方向力共同作用引起的压弯变形。矿柱本身为岩体，与上下围岩紧密接触，矿柱底端视为固定约束，顶端视为固定铰支约束。由矿柱力学模型图可知，影响矿柱稳定性的因素主要包括作用于矿柱的外力和矿柱自身尺寸。

图1 矿柱力学模型Fig.1 Mechanical model of pillar

1.1 矿柱上覆承载机理力学分析

在分析矿柱上覆受载的方法中，国内外应用最多的是面积承载理论。但当采深增加时，基于该理论设计的矿柱宽度会增大，从而导致部分矿石不能被采出，损失增大。矿柱与围岩紧密接触，主动承担上覆围岩施加的压力。岩体工程实践表明，开采工作会对围岩产生强烈扰动，矿石开挖后导致应力重新分布，在顶板围岩中会形成一个包含塑性区域的自然平衡拱，即为普氏拱[12-14]。该平衡拱内塑性区域的应力远小于覆岩重力或者原岩应力。根据普氏拱理论，可认为作用在矿柱上的载荷即为拱内岩体自重。图2所示为矿柱承载机理示意图。围岩应力重新分布后形成一个半径为RP的拱形塑性区域。矿石开采后，拱形塑性区的重力由矿柱均匀承担。只要矿柱能够承受拱形塑性区域围岩的重力，就可保证采场顶板的稳定性。

图2 矿柱承载机理示意Fig.2 Schematic diagram of pillar bearing mechanism

由普氏理论可得塑性区域半径RP的计算公式为[15]：

(1)

顶压集度为：

q=γ(RP-h/2)

(2)

开采空间宽度总顶压：

Q=q×l

(3)

(4)

P0=γH

(5)

式(1)～式(5)中，R0为开采半径；P0为开采采场处的垂直自重应力；c为岩体黏聚力；φ为岩体内摩擦角；l为采场宽度；γ为上覆岩体容重，H为开采深度。

则单个矿柱承担的均布载荷为：

(6)

式中:s为采场长度；a为矿柱长度；N为矿柱个数。

把式(1)～式(5)代入式(6)中，得出矿柱承受上覆载荷的计算公式为：

P=

(7)

1.2 充填体侧压力力学分析

充填体侧压力呈线性静水压力分布形式作用于距矿柱底部h/3高度处。国内外学者多采用朗肯土压力公式进行充填体侧压力的计算，本文也采用朗肯土压力公式进行计算，其计算公式为：

(8)

2 矿柱失稳的尖点突变理论分析

矿柱某点的挠曲位移为y，前述的矿柱边界条件为y(x=0)=0，y(x=h)=0，根据矿柱的几何边界条件选择矿柱的挠曲函数为：

(9)

式中：A为常数。

根据矿柱力学模型，得出矿壁总势能由弯曲应变能U、竖向外载荷做功WP、充填体侧压力做功WF3部分组成，其势函数表达式为：

(10)

把式(9)代入式(10)得矿柱总势能表达式为：

(11)

图3所示为尖点突变模型曲面图。系统的分叉点集方程：

Δ=4u3+27v2

(12)

图3 尖点突变模型的平衡曲面和分叉集Fig.3 Curved surface of equilibrium and control variables

由尖点突变模型图知，当矿柱宽度满足Δ>0时，矿柱处于稳定状态。在平衡曲面上，矿柱的破坏过程是从下叶逐渐向上叶发展变化的。矿柱发生失稳破坏首先在平衡曲面的下叶上不断积累弹性势能，孕育发生破坏的能量；当积聚的势能达到一定条件，开始发生破坏，在平衡曲面的中叶上矿柱已经处于不稳定状态；矿柱破坏过程中，屈服宽度逐渐增加，有效宽度不断减小，在平衡曲面的上叶上达到破坏后的稳定状态。所以矿柱发生失稳破坏可能是渐变破坏过程也可能是突变失稳过程。Δ=0时，控制变量在分叉集左侧发生变化会引起系统发生突变。若要使矿壁不发生突变破坏，必须保证控制变量不跨过分叉集。

Δ>0是矿柱处于稳定状态的充分条件，取其临界条件Δ=0，可得：

(13)

由式(13)可得u1<0，此时对应的矿柱宽度为W1。

由投影曲线图可知，u≤0是矿柱失稳的必要条件，若要保证矿柱稳定，必须有u>0，可得：

(14)

由式(14)可得，函数u=f(D1/2)的导数大于零，u为增函数。u1<0，u>0，则有u1

W>

(15)

由式(15)可知，影响矿柱稳定宽度的因素包括：矿柱的弹性模量E，泊松比μ，矿柱长度a，采场宽度l，采场长度s，采场高度h等，采深H，上覆岩体的容重γ，岩体的黏聚力c，内摩擦角φ，矿柱个数N等。在实际开采中，矿体和岩体的物理力学参数(包括γ，E，μ，c，φ等)变化不大，对矿柱宽度的影响较小，因此可忽略这些因素的影响。矿柱个数增加时，单个矿柱承载的上覆载荷就会较小，则相应的对单个矿柱宽度要求降低。当采深较大时，充填体对矿柱的侧压力小于上覆岩体对矿柱的压力，矿柱的失稳主要是上覆岩体压力造成的。基于本文的力学模型，认为矿柱长度与采场长度是相等的。此时影响矿柱宽度的主要因素是矿柱高度h，采场宽度l，采深H，可将这些参数视为变量。当采深较大时，采深的变化对覆岩压力值的变化影响较小，矿柱宽度随着采深增加变化较小。矿柱宽度随着矿柱高度和采场宽度的增加而增大，容易得知，矿柱高度对其宽度的影响较大。若矿柱预留宽度低于稳定宽度，就会发生突变失稳破坏。

3 工程实例验证

3.1 工程概况

冬瓜山铜矿是典型的深埋矿床。矿体构造简单，节理裂隙不发育，稳定性较好。该矿体采用暂留隔离矿柱阶段空场嗣后充填采矿法进行回采。矿体被划分为盘区，各盘区内垂直矿体走向划分矿房采场(82 m×18 m×矿体厚度)和矿柱采场(78 m×18 m×矿体厚度)，矿房采场与矿柱采场交替布置。盘区之间暂留隔离矿柱(垂直矿体走向宽400 m)。该矿山盘区采场回采后，用高配比的全尾砂胶结充填体充填矿房采场和低配比的全尾砂微胶结充填体充填矿柱采场。随着该铜矿矿产资源开采殆尽，为充分提高矿产资源采出率，需要对隔离矿柱进行开采,采用“隔一采一”方案进行回采。隔离矿柱是盘区大范围矿产资源回收并充填完毕后的剩余资源，其开采条件相对恶劣，安全问题突出，如何有效回收隔离矿柱资源，创造经济效益，是矿山面临的主要问题。隔离矿柱回采工作在充填体环境下进行，为防止回采过程中充填体垮落，需要在隔离矿柱采场与充填体之间预留薄矿柱，用于支撑顶板和保护充填体。在设计预留薄矿柱宽度时，如果预留宽度过大会造成资源浪费，过小则不能有效维护采场和充填体的稳定性。因此，需要合理确定预留薄矿柱的宽度，以实现安全与效益的统一。已知采场高度h为72 m，采深H为700 m，采场宽度l为22 m，薄矿柱长度s与采场长度a相等，薄矿柱个数为2，弹性模量E为70.28 GPa，泊松比μ为0.312，上覆岩体重度γ为27 kN/m3，黏聚力为12 MPa，内摩擦角为50.28°。由以上数据结合式(15)计算得出薄矿柱稳定的宽度必须大于3.63 m。

3.2 数值模拟验证

图4 薄矿柱临空面应力状态Fig.4 Stress state diagram of thin pillar free face

为方便模拟，选择薄矿柱宽度为4 m时进行分析。运用FLAC3D软件对该采场进行模拟，分析薄矿柱宽度为4 m时的稳定性。经试验测得矿岩物理力学参数见表1。垂直矿体走向(x轴方向)宽度约400 m，沿矿体走向方向(y轴方向)，长度约182 m。为提高模拟精度，模型边界顶部按5倍开挖尺寸选取，模型沿x轴方向、采场底部和沿y轴方向按3倍开挖尺寸选取。划分单元时，遵循照顾应力集中部位的原则，在开挖区附近(采场附近)划分较为细密的单元，外部单元较为稀疏。该矿山隔离矿柱回采工作在矿房矿柱充填后进行，因此模拟过程中首先模拟矿房矿柱的回采和充填情况，然后再进行隔离矿柱的开挖。每一步开挖和充填后矿体与围岩均会达到新的应力平衡状态，因而不考虑开采扰动对矿柱围岩系统的影响。模拟过程中把矿岩均视为连续介质，并考虑上覆岩体自重应力场，初始位移均为零，按照Mohr-Coulomb本构模型进行计算，根据在-700 m水平测得的应力施加初始应力，最大主应力33 MPa，中间主应力为17 MPa，最小主应力为14 MPa。模拟结果见图4所示。图4(a)，(b)分别为单元采场开挖后矿柱临空面上最大主应力和最小主应力分布图。在最大主应力分布图中，矿柱临空面中部出现拉应力区，但拉应力值小于矿柱的抗拉强度；矿柱的边角部位出现压应力，最大值为9.95 MPa，小于矿柱的抗压强度。图4(b)中矿柱临空面中部压应力在10 MPa左右，同样在边角部位的压应力小于矿柱的抗压强度。从矿柱临空面最大最小主应力分布图来看，矿柱是稳定的。矿柱临空面位移最大值为71 mm，结合矿山生产实际，此位移值对矿柱造成影响较小，该条件下矿柱处于稳定状态。

表1 矿岩物理力学参数

3.3 现场工业试验

根据理论分析和数值模拟验证情况，现场开采采场时，留设薄矿柱宽度为4 m进行开采。隔离矿柱安全高效回采的重要保证是顶板和薄矿柱的稳定性，顶板稳定性的主要意义是防止大面积来压而出现顶板整体灾变性破坏，采场薄矿柱对采场顶板起着支撑作用，其稳定性直接决定着采场顶板的整体稳定性。

试验中采用BGK-A3多点位移计监测采矿过程中地压变化以及开采扰动等引起的顶板位移变化情况，采用三轴应力计监测薄矿柱应力变化情况，并用CMS对采空区进行360°扫描，观察薄矿柱的保留情况，以此来分析其稳定性。大量崩矿后，薄矿柱最大主应力相对变化值为1.16 MPa，中间主应力相对变化值为1.17 MPa，最小主应力相对变化值为2.05 MPa，变化较小。回采工作进行一半时，两侧方矿柱有小部分垮落。出矿完成后，对采空区进行CMS扫描探测。扫描结果显示，少部分矿柱被超采，大部分保留相对较好，充填体总体上稳定较好。采用BGK-A3多点位移计对采场顶板位移变化特征进行监测，最大位移值为32 mm，位移变化较小，顶板处于较稳定状态。总体上，充填体保持较稳定，整个空区稳定性较好，可靠性良好。现场开采试验结果满足回采要求。

4 结论

1)通过构建矿柱力学模型，采用普氏压力拱理论，并考虑开采深度，分析矿柱的承载机理，指出矿柱上覆载荷为拱形塑性区重力，并得到矿柱上覆压力的理论计算公式；运用尖点突变理论分析矿柱失稳机理，解出矿柱稳定的临界宽度表达式。

2)由矿柱稳定的临界宽度表达式可知，影响矿柱稳定性的因素包括矿体和岩体的物理力学参数(γ、E、μ、c、φ)，采场宽度l，矿柱长度a，采场长度s，采场高度h和采深H等。其中采场宽度l，采场高度h和采深H是影响矿柱稳定性的主要因素，随着采深、采场宽度、采场高度的增加，矿柱发生突变失稳的临界宽度增大。深部开采时，矿柱的失稳主要与上覆压力有关。

3)结合冬瓜山工程实例，运用矿柱临界宽度表达式计算出矿柱稳定的临界宽度必须大于3.63 m。数值模拟分析矿柱宽度为4 m时最大最小主应力和位移变化，说明矿柱是稳定的。现场工业试验选择矿柱宽度为4 m进行开采，矿柱较稳定，顶板位移变化较小，充填体得到有效保护，整个采场稳定性较好，满足回采要求。

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