基于M-S模型的三种图像分割算法的比较

党文静，李德权，韦 慧

（安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232001）

基于M-S模型的三种图像分割算法的比较

党文静，李德权*，韦 慧

（安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232001）

M-S模型的水平集图像分割方法依赖于图像同质区域的全局信息，因而分割过程时间效率较低。为了提高计算效率，该方法在图像处理领域得到很多改进。本文在简化的M-S模型即C-V模型的基础上，讨论了现有3种改进分割演化算法，即：去掉C-V模型中的正则项；用| ∇φ|取代狄拉克函数,使得方法具有更好的全局优化性；加入梯度局部项，使之适合处理弱边缘和边缘断裂的图像。最后，通过3个实例进一步验证了各算法的优劣性以及适用性范围。

M-S模型；C-V模型；水平集方法；图像分割；梯度

1988年Osher和Sethian提出了关于几何变形模型的水平集方法[1]。由于水平集方法具有自由改变曲线的拓扑结构，易于数值求解等优点，目前水平集方法在众多领域，尤其是于图像分割处理方面得到广泛应用。水平集方法被引入应用于图像分割后，关于水平集方法的区域型模型成为近年来的研究热点。Mumford-Shah模型(简称MS模型)[2]是最早的基于区域分割的几何主动轮廓模型，通过构造如下能量泛函来同时实现图像的光滑和分割：

式中，u0(x,y)是待优化的输出图像，Ω为图像u0(x,y)的定义域，C是待优化的闭合曲线，它将图像的定义域Ω，划分为两部分Ω-(C的内部)和 Ω+(C的外部)；要求u(x,y)是分段光滑函数，即| |∇u(x,y)只允许在曲线C上有很大的值；要求输出图像u0(x,y)与输入图像u(x,y)非常接近，即数据保真项；μ·Length(C)要求闭合曲线C足够平滑且尽可能短。该模型依赖于图像同质区域的全局信息，因而对于处理强噪声、边缘模糊或边缘不连续图像具有较好的分割结果，突破了经典模型基于局部信息的局限性限制。由于M-S模型是通过几何测度项去控制图像中的边缘等跳跃部分，其数值逼近或数值解不易求出。因此，针对该问题，Chan和Vese提出一种简化的M-S分割模型，即不依赖梯度的主动轮廓水平集算法(简称C-V模型)[3]。

C-V模型中图像u0(x,y)的定义域Ω被闭合曲线C划分为两个同质区域，各个区域的灰度均值为c1和c2，其分割的能量泛函构造如下：

其中，μ≥0，ν≥0，λ1≥0，λ2≥0为各个能量项权重系数。当闭合曲线C即轮廓线位于两个同质区域的边界时，该能量泛函达到最小值。该模型需要根据轮廓内外图像的灰度均值去描述图像，而实际中大部分图像都无法满足该条件。因此，C-V模型较适合于处理二值图像，很难将其推广到一般图像的分割处理。

为了更精确地提取目标图像的轮廓，研究者在C-V模型算法的基础上做了各种改进，使得改进后的方法能够解决更多复杂的图像分割问题。Darolti等人[4]提出了基于局部区域描述器的算法；Wang等人[5]提出了融合新的局部项和全局项的算法；Suk-Ho等人[6]去掉了C-V模型中的正则项；Marquina-Osher[7]用C-V模型中的| |∇φ 取代狄拉克函数δ(φ)，大大提高了时间效率；朱峰等人[8]提出了在C-V模型中加入梯度项，提高了图像分割的整体性能。本文对其中的三种改进算法，即Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰等人的算法进行了讨论，并给出实例验证各算法分割不同类型图像的效果。

1 C-V模型的求解及其三种改进算法

本节主要介绍了C-V模型的能量泛函极小值的求解方法，并简要介绍了Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰的三种改进算法。

1.1 C-V模型的求解

根据水平集方法，极小化C-V模型的能量泛函，采用有限差分法[9]求解演化方程，并给出方程的离散格式。

Siddiqi等人[10]将海氏函数狄拉克函数引入C-V模型的能量泛函中，将式(2)改写为：

采用欧拉-拉格朗日方法求解式(3)的能量泛函极小值，解为：

式中，φ是轮廓线C所构成的水平集函数，初始条件φ(x,y,0)=φ0(x,y)。

本文采用有限差分法对式(6)进行离散求解，其离散格式如下：

1.2 基于C-V模型的三种改进分割算法

下面介绍基于C-V模型的三种改进的图像分割算法，三种改进算法中演化方程的离散格式同样采用有限差分法。

算法1（Suk-Ho等人[6]）：去掉C-V模型中的正则项。该算法将式(6)中的演化曲线C的长度项Length(C)和C内部区域的面积项Area(inside(C))去掉，其演化方程变为：

由式(4)、(5)和(8)可看出，该算法在曲线演化过程中仅利用了图像的全局特征得到图像全局优化边界线。采用该方法处理二值图像可得到其准确边界，但对于非二值图像则只能得到图像的一个粗分割轮廓，演化曲线会停留在目标边界的附近，无法达到图像的实际边缘轮廓。该算法利用了图像的全局信息，因此和初始轮廓的选取无关。

算法 2（Marquina-Osher[7]）：用 C-V模型中|∇φ|替代狄拉克函数δ(φ)传统模型中狄拉克函数可能会导致演化曲线无法到达图像边缘的情况，Marquina-Osher将传统模型中狄拉克函数替换成距离函数梯度的模值即，由此演化方程变为：

上式中的两个未知参数c1，c2的计算同式(4)，(5)。当| ∇φ|≈1，可消除狄拉克函数对非零水平集的抑制。对于远离演化曲线的图像边缘，由于| ∇φ|的绝对值很大，可能会使得距离函数φ的符号取反向。这样，该算法可以检测出远离演化曲线的图像内外部边缘。因此该改进算法比算法1具有更好的全局优化特性。

该改进方法需要在整个定义域Ω内不断的更新水平集函数来求解，因此所需的计算量较大，但是该算法是基于全局信息的演化方法，因此可在较短的演化时间内达到较为理想图像分割结果。

算法3（朱峰等人[8]）：在C-V模型中加入局部梯度项。从C-V模型的能量泛函式(2)可知，Length(C)，Area(inside(C))分别是演化曲线的边界长度和边界的内部区域面积，作用仅仅是保持图像边界的光滑，不含边界附近的局部特征；而式(2)中的后两项

是背景图像和目标图像的区域信息，具有全局特征，是曲线演化的主要驱动力，因此可以看出C-V模型不具有局部优化的作用。

图像梯度是描述图像局部信息的重要特征，在曲线演化过程中具有重要的作用。为使轮廓线在演化过程中既受到全局特征的约束，又受局部特征的影响，提出了在式(2)中的Length(C)使用演化曲线C边界项长度的求长线积分式，在边界长度积分中增加含有图像梯度信息的势函数g(x,y)[11]作为权值的加权长度积分，g(x,y)的定义为：

其中，σ＞0，p≥1，Gσ(x,y)∗u0(x,y)指图像u0(x,y)和高斯函数的卷积，表示对图像的平滑。由定义可知，在图像同质区域内部g(x,y)的值是正的，在图像的边界时值为0。因此，改进后式(2)中第一项Length(C)不仅具有光滑作用，还具有局部调节能力。

综上可得该算法的能量泛函可表示为：

对该式用欧拉-拉格朗日方法推导出该算法的演化方程为：

基于梯度的算法充分利用图像的局部边缘信息特征项和全局区域信息特征项，在曲线演化过程中将同时考虑全局和局部特征项，因此其分割效果更好。

2 实例分析

下面通过几个实例来比较本文所提到的3种改进算法处理图像分割问题的优缺点，比较的指标是各算法的演化速度以及最终的分割结果。

为使结果比较可靠，实验中设置相同的相关参数，初始条件。时间步长Δt=0.1，网格步长h=1，参数λ1=λ2=ε=1。

图1是对灰度均匀图像(大小61×64)进行的分割实验，其中图1(a)圆曲线表示随机选取的初始轮廓，图1(b)-(d)分别是三个算法演化10 s后的轮廓结果。由图可知，算法2在演化10 s后已经能够完整地提取到目标图像的轮廓，而算法1、3的演化曲线此时还未收敛到目标图像的边缘。由此例可知，算法2的演化速度较算法1、3要快。

图 2(a)-(c)是3种算法分别演化 25 s、1 s、300 s后的分割结果。从演化收敛速率来看，算法2最高，算法1次之。算法2用| | Δφ代替了狄拉克函数，消除了狄拉克函数对非零水平集的抑制，较另两个算法具有更好的全局优化特性，其分割速度较快；算法1只是利用了图像的全局信息，没有演化曲线的长度项和区域面积两个正则项，不能保证图像边缘的光滑性，使得分割速度相对较慢；算法3虽然利用了图像的全局特征和局部特征，但在演化的过程中无法有效的平衡全局项和局部项的相互影响，大大减缓了演化速度。

图3 是对两个细胞组成的图像(大小65×83)进行分割，其中图3(a)是原始图像和初始轮廓线(随机选取)，图3(b)-(d)分别是三种算法演化200 s后的曲线演化结果。由图可知，算法3提取出了大部分的细胞区域，分割结果相对满意，适合处理带有弱边缘的图像；算法1、2在分割的过程中，将背景和目标的过渡区域当成了目标，导致错误的分割，而算法2也因无法自动检测出带有空洞目标的内部区域，使得分割结果更加不理想。

图4是对医学MR图像(大小600×546)进行的分割实验，其中图4(a)是脑部MR图像的初始化，圆曲线是初始轮廓(随机选取)，图4(b)-(d)分别是三种算法演化300 s的曲线演化结果。由图可知，算法2的轮廓提取相对来说较完整，而算法1和3只提取了图像的部分轮廓，分割效果不是很好，因为算法2可以检测出远离初始轮廓的内外部边缘，所以比其他两个算法有更好的全局优化特性。

3 小结

本文在C-V模型的基础上讨论了三种改进的分割演化算法处理不同类型图像的效果，在理论分析的基础上给出实例进行验证。本文所讨论的三种改进算法仅利用图像全局特征，因此初始轮廓的形状、位置都和分割结果无关，各算法的初始轮廓可以随机选取。通过几个实例，发现算法1和算法2比较适用于灰度均匀图像，算法3对弱边缘和边缘断裂的图像分割效果相对较好。需要指出的是：本文主要考虑了图像轮廓曲线的演化速率以及算法的最终分割效果，而对各算法用于处理噪声图像、拓扑结构复杂的图像等问题将是我们下一步研究的内容。

[1]Osher S,Sethian J A.Fronts propagating with curvature-dependent speed:Algorithms based on Hamilton-JacobiFormulation [J].Journalof Computational Physics.1988,79:12-49.

[2]Mumford D,Shah J.Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problems[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,1989,42(5):577-685.

[3]Chan T F,Vese L A.Active contours without edges[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2001,10(2): 266-277.

[4]Darolti C,Mertins A,Bodensteiner C,et al.Local region descriptors for active contours evolution[J].IEEE Transactions on Image Processing,2008,17(12):2275-2288.

[5]Wang X F,Huang D S,Xu H.An efficient local Chan-Vese model for image segmentation[J].Pattern Recognition,2010,43(3):603-618.

[6]Lee S H,Seo J K.Level set-based bimodal segmentation with stationary global minimum[J].IEEE Transactions on Image Processing,2006,15(9):2843-2852.

[7]Marquina A,Osher S.Explicit algorithms for a new time dependent model based on level set motion for nonlinear deblurring and noise removal[J].SIAM Journal of Science Computer,2000,22(2):387-405.

[8]朱 峰，宋余庆，朱玉全，等.基于梯度的混合Mumford-Shah模型医学图像分割[J].计算机工程，2007，33（24）：200-202．

[9]王大凯，侯榆青，彭进业.图像处理的偏微分方程方法[M].北京：科学出版社，2008：28-35．

[10]Siddiqi K,Lauzière Y B,Tannenbaum A,et al.Area and length minimizing flows for shape segmentation [J].IEEE Transactions on Image Processing,1998,7 (3):433-443.

[11]Cheng L,Yang J,Fan X,et al.A generalized level set formulation of the Mumford-Shah functional for brain Mr image segmentation[M].Heidelberg:Springer Berlin,2005:418-430.

Comparison of three image segmentation algorithms based on M-S model

DANG Wen-jing,LI De-quan*,WEI Hui
(College of Science,Anhui University of Science and Technology,Huainan Anhui 232001,China)

The level set image segmentation method of M-S model depends on the global information of image homogeneous region,thus the time efficiency in segmentation process is low.To improve the computational efficiency,this method has been improved by many researchers in the field of image processing.In this paper,the advantages and disadvantages of three kinds of improved segmentation evolutionary algorithms based on the C-V model is discussed:the algorithm based on the C-V model without the regularization term;the algorithm of replacing the Dirac function by| |∇φ for the purpose of better global optimization;the algorithm of adding the local gradient term suitable for dealing with image of weak edges and edges fracture.Finally,three examples is presented to further illustrate the efficiency and the range of applicability of the algorithms.

M-S model;C-V model;level set method;image segmentation;gradient

TP391.41

A

1004-4329（2017）01-080-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-080-05

2016-12-06

国家自然科学基金项目(61472003，11601007)资助。

党文静(1987- )，女，硕士生，研究方向：图像分割。

李德权(1973- )，男，博士，教授，研究方向：多个体系统协调控制、分布式优化。Email:leedqcpp@126.com。