基于μ-合成的直流电机鲁棒控制器研究

陈章才，陈旭东，曹 慧，张腾达，付学敏

(安徽新闻出版职业技术学院 印刷包装系，安徽 合肥 230601)

基于μ-合成的直流电机鲁棒控制器研究

陈章才，陈旭东，曹 慧，张腾达，付学敏

(安徽新闻出版职业技术学院 印刷包装系，安徽 合肥 230601)

针对电机负载参数变化引起的模型不确定性，该文基于μ-合成控制理论，尝试设计具有较强鲁棒性的直流电机速度控制系统。首先依据干扰抑制原理，通过引入虚拟不确定块等将系统鲁棒性能问题转化为鲁棒稳定性问题，然后通过求解合适的权重矩阵使控制系统的性能满足设计要求；最后分别运用复数及混合μ-合成控制算法求得两种鲁棒控制器，并运用Hankel奇异值及动态性能空间方法予以简化。鲁棒性能分析及扰动抑制结果表明：所设计的两种控制器对电机负载的摄动均具有较强的鲁棒性，且对于标称值仅为实数的不确定闭环系统，采用D-G-K迭代混合μ-合成控制算法设计的鲁棒控制器对扰动具有明显更强的抑制效果。

直流电机；不确定性系统；鲁棒控制器；鲁棒性能；扰动抑制

区别于H∞合成算法对标度矩阵v和w的高度敏感性[1]，D-K迭代 μ-合成控制算法以结构奇异值 μ·Δ(·)作为系统的鲁棒性量度[2]，一方面兼顾了控制系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能要求[3]，另一方面降低了对其标度矩阵D的依赖，可有效减少设计的保守性[4]。

但μ-合成控制算法在实际应用中也表现出一定的局限性：

本文依据干扰抑制原理[8]，首先引入虚拟不确定块Δ·Wdel，将直流电机速度控制系统的设计转化为鲁棒稳定性问题，然后通过选择适当的权重矩阵使控制系统的鲁棒性能满足设计要求，最后在兼顾系统鲁棒性能和鲁棒稳定性的基础上，分别采用复数和混合μ-合成控制算法实现直流电机不确定性系统鲁棒控制器的设计，并尝试对两种控制器的鲁棒性能和干扰抑制效果进行比较。

1 直流电机不确定性系统DCM

直流电机结构示意图如图1所示。电枢电压Va、电枢电流I与反电动势Vemf之间满足关系式：

磁场φ与电枢电流相互作用产生使电枢旋转的电磁转矩为：

当电枢转动时，电枢绕组切割磁场线产生电动势：

(1)、(2)和(3)式联立，求得电机转速n为：

式中，kb、km分别为电枢的反电动势系数和转矩系数，为电机理想空载转速，为机械特性斜率。

其系数矩阵分别为：

考虑到负载转动惯量J的不确定性可能对电机转速ω的动态性能产生影响，将图1所示电机的电枢绕组与负载环节分离，且以反电动势系数kb为正反馈矩阵，并增加扰动转矩Td为输入变量，则直流电机模型电路结构示意图如图2，传递函数如式(7)。

实验采用Faulhaber系列0615型直流电机，电机参数如表1[10]。表1中电枢绕组各参数及负载摩擦扭矩系数kf均为确定值，转动惯量J则为不确定量，其标称值和不确定范围分别为0.02 gcm2和±50%。

依据表1，可构建直流电机不确定模型dcm (dc motor uncertainty model)，该模型具有一个不确定参数J。其标称值构成2输入单输出二阶稳定系统，状态空间方程如式(5)所示，系数矩阵为：

若进一步计及从输入驱动Va到输出反应ω的延迟时间t≈0.06 s，则dcm传递函数中应加入延迟因子项e-t=e-0.06。由图3(a)Bode图我们发现，该e-0.06因子的Bode响应上界恰与加权函数一致，故可采用如图3(b)所示内联结构，通过构建一个单输入单输出虚拟不确定块Δ·Wdel，将系统内部延迟e-0.06以Δ·Wdel予以等效替换[11]，并据此得到直流电机DCM不确定动态模型(DC Motor uncertain dynamic model)：

对所构建的不确定动态模型DCM随机抽取20个样品，做出从输入Va到输出ω的开环伯德图并与其标称值比较，结果如图4。图4显示，电机转速ω确因负载参数的不确定性而随输入信号发生了较明显的波动。

2 直流电机鲁棒控制器研究

2.1 直流电机不确定性闭环系统CLP的构建

直流电机不确定性系统鲁棒控制器采用图5所示CLP闭环结构[12]，以μ-合成控制算法进行设计。

μ-合成控制算法以结构奇异值作为系统的鲁棒性量度，借助各相关权重矩阵W的合理选取，通过多次迭代求解式(10)所示H∞合成优化问题和式(11)所示凸优化问题，使系统结构奇异值μ最终满足最小化判定条件式(12)，从而实现鲁棒控制器设计，达到提升系统鲁棒性能的目的[12-13]。

图5 CLP闭环系统构建过程中，各权重函数Wu、Wd、Wp和Wn的选取分别如下：

2.2 混合μ-控制合成算法控制器设计

鲁棒控制器设计可借助Matlab提供的mu工具箱。

因DCM模型中不确定参数J的标称值为实数，故除可采用复数μ-合成控制算法外，我们提出基于D-G-K迭代的混合μ-合成设计思想。

复数 μ-合成控制算法具有如下特点[14]：

(a)迭代过程取复数形式的标度矩阵D；

(b)动态不确定系统中所有不确定参数随机样品的取值范围为复数。

与此相对应，混合μ-合成控制算法除仍保留复数形式标度矩阵D外，对被控模型中不确定参数随机样品均在实数范围内选取。

该算法对不确定实参数J(0.02,±50%)的取值结果如图6所示。图中“x”显示实数J原有随机值变化范围，而“*”则为复数 μ-合成算法的复平面取值结果。

设置初始标度矩阵D0=I，经5次迭代可求得符合设计要求的16阶控制器，经Hankel奇异值及动态性能空间方法[15]进行降阶处理，得到4阶鲁棒控制器Kc，传递函数如式(13)：

Kc降阶前后Bode图比较如图7(a)。从中可见，控制器的幅频特性及相频特性曲线直到约10 rad/s的频率范围内，在降解前后仍基本保持一致。

对于混合μ-合成控制算法，我们在原有D-K迭代的基础上，尝试通过计算与实数不确定参数取值相关的标度矩阵G、复数标度矩阵D及实正则量β，将不确定系统的不确定实参数引入迭代过程，借助D-G-K迭代的设计思想，实现μ-合成控制器K的设计。其中，β的计算满足[15]：

在频率各点上通过求解下式（15）所示最小化问题寻找(ω)和(ω)：

把所得到的新标度矩阵(ω)、(ω)与前次估算的D(ω)和G(ω)比较，若接近则迭代过程停止，否则令(ω)=D(ω)，(ω)=G(ω)重复计算。

初始标度矩阵、迭代次数和降阶方法如表2所示。

借助Matlab求解并经降阶处理后，最终得到4阶控制器Km，传递函数如式(16)。

图7(b)显示Km降阶前(14阶)与降阶后的Bode图比较。同样发现，在约10 rad/s频率范围内，控制器在降解前后的动态性能基本保持一致。

2.3 控制器鲁棒性能及扰动抑制效果比较

以Kc和Km代入图5，分别构建两种算法下的闭环系统CLPC和CLPM。求解各自鲁棒性能，结果如表3所示。从表3可见，当CLPC环的鲁棒性能裕度达到1.09(≈1)时，不确定幅度(可近似认为其最大不确定幅度)约为91.6%，对应的频率为0.659 rad/s；而对于CLPM环，当不确定幅度达到109%时，鲁棒性能裕度仅为0.92(仍小于1)，对应的频率值也仅为0.476 rad/s。表明两种控制器对电机负载的摄动均具有较强的鲁棒性。

CLPC和CLPM的闭环Bode响应如图8。我们发现，CLPM环的幅值裕度约为3 rad/s，小于CLPC环的约9 rad/s，表明：对于标称值仅为实数的不确定闭环系统，采用混合μ-合成控制算法所设计的控制器能够在保证系统鲁棒稳定性基本相同的情况下，更好地提升系统动态性能，该结论与表3结果一致。

我们进一步比较控制器的扰动抑制效果。

取DCM中的不确定参数J为其标称值，比较CLPC和CLPM环中的扰动信号Td、控制输入信号Va和控制输出信号ω的动态响应，结果如图9所示。图9可见，在相同扰动输入条件下(图9(c))，CLPC和CLPM环的控制输入信号(图9(b))，及控制输出信号(图9(a))的动态响应几乎保持一致，表明采用两种不同 μ-合成控制算法所设计的控制器对确定系统的扰动具有基本相同的抑制效果。

图10比较当DCM中的不确定参数J取其不确定范围的最大值，即不确定系统达到最坏条件的情况下，CLPC和CLPM环中控制输入信号和控制输出信号的动态响应。结果显示：采用混合μ-合成控制算法所设计的控制器对扰动信号具有更强的追踪和反映能力(图10(b)所示：CLPM控制输入信号的波动大于CLPC环)，且对因参数不确定性而产生的扰动具有明显更强的抑制效果(图10 (a)显示：CLPM控制输出信号的波动明显小于CLPC环)。

3 小结

本文针对电机负载不确定参数仅在实数范围内变化导致的模型不确定性，分别运用复数及混合μ-合成控制算法，设计了两种直流电机速度控制系统Kc和Km。性能分析及仿真结果表明：所设计的两种鲁棒控制器对电机负载的摄动均具有较强的鲁棒性。

研究结果也显示，对于标称值仅为实数的不确定闭环系统，比较于复数μ-合成算法，采用混合 μ-合成控制算法所设计的鲁棒控制器能够在保证系统鲁棒稳定性基本相同的情况下，更好地提升系统动态性能，且对扰动具有明显更强的抑制效果。

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Robust controller research on DC motor based onμ-synthesis

CHEN Zhang-cai,CHEN Xu-dong,CAO Hui,ZHANG Teng-da,FU Xue-min
(Printing and Packaging Department,Anhui Press and Publication Vocational College,Hefei Anhui 230601,China)

Aiming at the problem of model uncertainty caused by the DC motor load variations,robust DC motor speed control system was designed using μ-synthesis control theory in this article.Firstly,by introducing fictive uncertainty,the robust performance problem was transformed into robust stability problem according to the principle of interference suppression.Secondly,the weighting functions were selected properly to have the control system to meet the design requirements.Lastly,the complex and mixedμ-synthesis D-K iteration algorithm were used to solve the controllers,and these two controllers were simplified using the Hankel singular values and dynamic performance space procedures.Robustness analysis and disturbance rejection results showed that:there are relatively strong robustness of the two controllers on the motor load perturbation,and for the closed-loop system with only real number nominal value,the controller designed by D-G-K Iteration mixedμ-synthesis algorithm has obviously stronger robust to the disturbance suppress.

DC motor;uncertainty system;robust controller;robust performance;disturbance suppression

TP273

A

1004-4329（2017）01-038-08

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-038-08

2016-10-20

安徽省高等学校省级自然科学研究重点项目（KJ2014A103）资助。

陈章才(1970- )，男，高级工程师、讲师，研究方向：电气控制。