一类偏微分方程边值问题的有限差分格式

武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

一类偏微分方程边值问题的有限差分格式

武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

对一类二维常系数椭圆型偏微分方程，建立了一种四阶紧有限差分格式。证明了有限差分解的存在性和唯一性，用离散能量分析的方法给出了数值解的L2-范数和H1-范数误差估计。

常系数椭圆边值问题； 紧有限差分格式； 误差估计

偏微分方程在自然科学、工程技术、力学、生物学以及化学等领域都有着广泛的应用。科学和工程中的许多数学模型都可以用偏微分方程来描述[1-3]，对偏微分方程的求解在科学研究过程中尤为重要。绝大多数偏微分方程的定解问题都无法给出精确的解析解，因此，微分方程的数值求解引起了学者广泛的关注。

近年来，有限元方法、有限差分及谱方法等已经成为微分方程数值求解的主要方法[4-9]。有限差分方法是用于求解微分方程定解问题最常用的数值逼近方法。本文对一类常系数二维椭圆型偏微分方程，建立了一种四阶紧有限差分方法，并给出了相应的理论分析。

1 四阶有限差分格式的建立

本文主要研究如下二维常系数椭圆边值问题：

(1)

式中，Ω⊂R2为矩形区域的组合；函数f(x,y,u)和φ(x,y)在定义域内充分光滑，函数f(x,y,u)关于u为非线性的；a、b、c、d为不依赖于(x,y)的常数，且a>0,b>0。

(2)

引入如下中心差分算子:

(3)

用上述算子替换式(1)中的微分算子，得

(4)

式中，τi,j为截断误差，

(5)

(6)

式中，系数

(7)

定义有限差分算子

(8)

设σ=hx/hy为步长比，计算可得

(9)

式中，

(10)

且

(11)

(12)

显然，由式(11)可知，存在正常数h*，使得对所有的hx

q(k1,k2)≥0,k1,k2=-1,0,1

(13)

上述性质表明算子Ph为非负的。假设

(14)

同样由式(10)、(11)可知，给定任意非负常数M，存在正常数h(M)，使得对所有的hx

(15)

在实际计算中，h(M)和h*的精确值可通过计算p(k1,k2)和q(k1,k2)得到[11]。

(16)

定理1表明，算子Lh具有连续算子同样的极值原理。

2 有限差分解的存在性

本文用上、下解的方法研究紧有限差分格式(式(12))解的存在性和唯一性。首先给出差分格式(式(12))的上、下解的定义。

(17)

且引入如下记号:

(18)

(i,j)∈Ωh

引理1 假设式(14)成立，M为非负常数。若hx

(19)

证明 根据式(19)，结合文献[13]中260页的定理1可证引理1的结论成立。

由引理1可得到极大解和极小解的存在性结果如定理2所示。

定理 2 假设式(14)成立，如果

证明 取迭代初始值

通过Picard型迭代

(20)

(21)

(22)

再根据引理1可得

即

同理可证

这就证明了式(21)在m=1时的情形。最后，由数学归纳法可知，对所有的m≥1，式(21)均成立。

由式(21)可知，极限

改革开放初期，上海主要电源点仅有闸北、杨树浦、南市、闵行和吴泾电厂，电力供应特别紧张。经过40年的发展，上海电力供应形成1/3市内和2/3市外的总格局，基本解决了电力供应保障的问题。

(23)

存在且满足

(24)

3 有限差分解的唯一性

(25)

记

∂xvi,j=(vi+1,j-vi,j)/hx

∂yvi,j=(vi,j+1-vi,j)/hy

对任意的vi,j∈Vh,引入如下Sobolev范数：

(26)

简单计算可知，对任意vi,j,ωi,j∈Vh，有

(27)

及

(28)

引理2 对任意vi,j∈Vh，有以下估计式：

(29)

证明

(2) 为了证明式(29)中第2个估计式，注意到

(30)

式中，

(31)

则由式(27)、(28)，有

(32)

且

(33)

由式(27)可知

(δxv,v)=-(v,δxv)

这说明

同理可得

因此有

(L3v,v)=0

(34)

将式(32)～(34)代入式(30)，可得到式(29)中第2个估计式。

(3) 根据式(27)可得

这就证明了式(29)的第3个估计式成立。

下面根据上述引理2，证明有限差分解的唯一性。

定理3 设定理2的条件成立，若

(35)

(36)

(37)

这表明

因此由引理2可得

再结合式(35)可知

即对所有的(i,j)∈Ωh，有

定理3表明，本文构造的紧有限差分格式(式(12))的解是唯一的。

4 有限差分格式的误差分析

(38)

(39)

(40)

式中，

(41)

则当hx

故可得

由上述估计和引理2可知式(41)成立。

定理4表明，本文建立的紧有限差分格式具有四阶精度。

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Finite Difference Scheme for a Class of Boundary Value Problems

WUWenjia

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306,China)

A fourth-order compact finite difference scheme is proposed for a class of two-dimensional elliptic boundary value problems with the constant coefficients. Existence and uniqueness of finite difference solutions are investigated. Convergence and the fourth-order accuracy of the proposed method are shown with respect to discreteL2-andH1-norm.

elliptic boundary value problem with constant coefficients; compact finite difference scheme; error estimation

2016 -11 -13

上海电机学院学科建设项目资助(16JCXK02)

武文佳(1985-)，女，讲师，博士，主要研究方向为偏微分方程数值解，E-mail: wuwj@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2017)01 -0056 - 07

O 241.82

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