一类带阻尼项的次二次二阶 Hamilton 系统的周期解

居加敏,王智勇

(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京 210044)

一类带阻尼项的次二次二阶 Hamilton 系统的周期解

居加敏,王智勇

(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京 210044)

本文研究了一类带阻尼项的二阶 Hamilton 系统周期解的存在性问题. 利用鞍点定理,在新的次二次条件下,获得了一个新的存在性结果,推广并改进了已有文献的相关存在性结论.

周期解; 二阶 Hamilton 系统;(C) 条件; 鞍点定理

1引言及主要结果

考虑二阶 Hamilton 系统

其中 T ＞ 0,F:[0,T]× RN→ R 满足以下条件:

(A)F(t,x) 对任意 x ∈ RN关于 t 是可测的,对 a.e.t ∈ [0,T] 关 于 x 是连续可微的,且存在 a ∈ C(R+,R+),b ∈ L1(0,T;R+) 使得 |F(t,x)|+|▽F(t,x)|≤ a(|x|)b(t) 对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立.

近年来, 越来越多的的学者利用变分法研究问题 (1.1) 周期解的存在性, 并得到了一系列可解性条件, 见文献 [1–9] 及其参考文献. 自 1980 年 Rabinowitz[8]提出次二次条件以来, 次二次条件不断被推广和丰富. 特别的, 唐和吴[2]在次二次条件下研究了问题 (1.1) 周期解的存在性,并且得到了如下结论:

定理 A[2]假设 F 满足条件 (A) 及以下条件

(F1) 存在 0 ＜ µ ＜ 2,M1＞ 0,使得

(F2) 当 |x|→ +∞ 时,F(t,x) → +∞ 关于 t 一致成立.则问题 (1.1) 在空间 H1T中至少有一个周期解,其中

相应的范数为

本文考虑更一般的带阻尼项的二阶 Hamilton 系统

本文将在一个新的次二次条件下, 利用极小极大作用原理研究问题 (1.2) 周期解的存在性.方便起见,以下用 H 代表连续函数空间,且对所有 θ∈ H,存在常数 M2＞ 0 使得

(i) 对所有 t ∈ R+,θ(t) ＞ 0;

主要结果如下

定理1.1假设 F 满足条件 (A) 及以下条件

则问题 (1.2) 在空间 HT1中至少有一个周期解.

注1.1其中 k 是常数, 看到

(a) 在 (H2) 下,当 k ＞ 0 时,(H1) 和 (F1) 是等价的,但当 k=0 时,条件 (H1) 比 (F1)弱.

(b) 研究的问题 (1.2) 带有阻尼项 q(t)u˙(t), 当 q(t) ≡ 0 时, 定理 1.1 和定理 A 考虑的是相同的系统,而且此时,根据当 k ＞ 0 时,(H3) 即为

0

注意到 (H2) 和 (H3)’比 (F2) 更弱. 因此结果显著推广了定理 A.

2预备知识

在H1上定义泛函ϕ为

定义2.1[3]设 X 是实 的 Banach 空 间, ϕ ∈ C1(X,R), 如果 对任 意的 v ∈ X, 都有,就称 u 是泛函 ϕ 的临界点. 泛函在临界点处所取的值,就称为临界值.

由文献 [3]中定理 1.4 易知 ϕ 在 H1T上连续可微,且 ∀u,v ∈ H1T, 有

众所周知,u ∈ HT1是问题 (1.2) 的解当且仅当它是 ϕ 的临界点.

定义2.2[3]设 X 是实 的 Banach 空间,如果有界,蕴含有收敛子列, 则称泛函 ϕ 满足 Palais–Smale 条件 (简称 PS条件).

定义2.3[3]设 X 是实 的 Banach 空间, ϕ ∈ C1(X,R), 如 果有界,蕴含有收敛子列,则称泛函 ϕ 满足 Cerami条件 (简称C 条件).

注2.1易证 (PS) 条件蕴含 (C) 条Z件, 但反之不一定成立, 即 (C) 条件比 (PS) 条件更弱.

引理2.1则存在常数 C ＞ 0,使得下面

两个不等式成立:

引理2.2[3](鞍点定理) 设 X 是实的 Banach 空间,及其中R

则当 ϕ 满足 (PS)条件时,c 为临界值.

注2.2文献 [6] 表明, 鞍点定理在 (C) 条件下依然成立.

引理2.3假设 F(t,x) 满足 (A) 和 (H1), 则对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

其中

证取 f(s):=F(t,sx). 则由 (H1), 对所有可证得

令

将 (2.3) 式代入 (2.4) 式可得

通过解线性常微分方程 (2.4), 得到

因此

此外,由假设 (A),对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

所以由 (2.6),(2.7) 式和假设 (A),对所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],可得

也就是说引理 2.3 得证.

注2.3(1) 利用 θ的条件 (ii),可知当 |x|→ +∞ 时,G(|x|) → 0.

(2) 由θ1的范围及可知,函数 t2G(t) 关于 t 是递增的.

3定理证明

为了叙述方便,在下面的证明中,Ci,i=1,2,3,···,表示一系列不同的正常数.

定理1.1的证明(1) 证明 ϕ 满足 (C) 条件.

首先证明 {un} 在 H1T上有界. 令 {un} 是泛函 ϕ 的 (C) 序列,即有界,且当n → ∞ 时, 有,则 ∀n ∈ N 有

假设 {un} 在 HT1中 无 界, 则 不妨 设 当 n → ∞ 时, 有 ‖un‖→ +∞. 令则 {vn} 在 HT1上 有 界. 因 此 存 在 子 序 列, 不 妨 仍 记 为 {vn}, 使 得 在 HT1上, 有 vn⇀ v0,在 C([0,T],RN) 上, 有 vn→ v0.因此当 n → ∞ 时,有

因为 H1T紧嵌入到 C(0,T;R),则对所有 u ∈ H1T,存在常数 d ＞ 0 使得

由 (3.1),(2.1),(3.3) 式, 引理 2.3 和注 2.3 中的 (2),可得

将上述不等式 (3.4) 的两边同除 ‖un‖2,则由注 2.3 中的 (1) 易知,当 n → ∞ 时, ‖ ˙vn‖L2→ 0.再 利 用 (3.2) 式, 有 vn→ ¯v0. 从 而 得 到 v0= ¯v0,T|¯v0|2= ‖¯v0‖2=1. 因 此 当 n → ∞ 时, |un|→ +∞,结合 (H3) 得

另一方面, 结合假设 (A) 和 (H1),∀x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

其中 h2(t):=(2+M2)h1(t) ≥ 0. 由 (2.1),(2.2),(3.1) 和 (3.6) 式有

因此有

这与 (3.5) 式矛盾! 因此 {un} 在 H1T上有界.

下面证明 {un} 有收敛子列.

因为 {un} 在 H1T上有界,则存在子序列,不妨仍记为 {un},使得

于是当n→ ∞ 时,有

考虑到 (3.9) 式和条件 (A),有当 n → ∞ 时,

由 (3.8) 式及 ϕ′(un) → 0 知,当 n → ∞ 时,

(2) 接下来证明 ϕ 满足几何条件.

首先证明 (ϕ1). ∀u ∈ H~T1, 根据 (2.1) 式, 引理 2.3,注 2.3 中的 (2) 和 Sobolev 不等式有

因为在 H~T1中,根据 Wirtinger 不等式,‖u‖→ +∞ 等价于 ‖ u˙ ‖L2→ +∞,则由 (3.13) 式和注2.3 中的 (1) 有当时即 (ϕ1) 成立.

最后证明 (ϕ2). ∀u ∈ RN,因为则由 (2.1) 式和 (H2) 有而在 RN中, ‖u‖ → +∞ 等价 于 |u|→ +∞. 因此 由 (H3) 和 (3.14) 式 可得, 当 ‖u‖ → +∞时,ϕ(u)→ −∞,即 (ϕ2) 成立.

综上, 利用鞍点定理 (引理 2.2), 根据步骤 (1),(2) 知 ϕ 至少有一个临界点. 因此问题(1.2) 在空间 H1T中至少有一个周期解.即定理 1.1 得证.

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PERIODIC SOLUTIONS OF A CLASS OF SUBQUADRATIC SECOND ORDER HAMILTONIAN SYSTEMS WITH DAMPED VIBRATION

JU Jia-min,WANG Zhi-yong
(School of Mathematics and Statistics,Nanjing University of Information Science&Technology, Nanjing 210044,China)

In this paper,we study the problems about existence of periodic solutions for second-order Hamiltonian systems with damped vibration.Via saddle point theorem under a new subquadratic condition,an existence theorem is obtained,which extends and improves previously known results.

periodic solutions;second-order Hamiltonian systems;(C)condition;saddle point theorem

tion:34K13;58E30

4K13;58E30

O176.3

A

0255-7797(2017)02-0383-07

2014-09-29 接收日期:2015-08-02

国家自然科学基金资助 (11026213;11571176).

居加敏 (1991–), 女, 江苏扬州,硕士, 主要研究方向: 非线性泛函分析.