某类无穷维 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性

海国君,阿拉坦仓

(内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010021)

某类无穷维 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性

海国君,阿拉坦仓

(内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010021)

无穷维 Hamilton 算子;算子矩阵;Moore-Penrose 可逆

1引言

设 X 为无穷维 Hilbert 空间,B(X) 表示 X 上的所有有界线性算子构成的 Banach 空间,若 T ∈ B(X),用 T∗,N(T),R(T) 表示算子 T 的共轭算子,零空间与值域空间.如果 T=T∗, T 称为自伴算子.若 M 是 X 的线性子空间且 T ∈ B(X),和表示M 的正交补和闭包,和表示T在M 上的限制和M 上的正交投影算子.

对于 T ∈ B(X),如果存在算子 S ∈ B(X) 满足下面的四个算子方程

则 T 称为 Moore-Penrose 可逆,S 称为 T 的 Moore-Penrose 逆,记为 T+.T 是 Moore-Penrose可逆当且仅当 R(T) 为闭的且 T 的 Moore-Penrose 逆是唯一的[1]. 显然,T 为 Moore-Penrose可逆当且仅当 T∗为 Moore-Penrose 逆.

1920 年,Moore 首先提出了广义逆矩阵,但没有引起人们的注意. 直到 1955 年,Penrose以矩阵方程的形式给出了 Moore 广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才得到发展. Hilbert 空间中线性算子的 Moore-Penrose 逆是矩阵 Moore-Penrose 逆的推广. 我们知道,线性算子的 Moore-Penrose 可逆性在众多领域, 如矩阵理论,统计理论等, 有着重要的应用. 对于有限维空间中的线性算子 (矩阵), 其 Moore-Penrose 可逆性在许多文章中讨论过 (见文 [2, 3] 及其中的参考文献). 对于无穷维 Hilbert 空间中的线性算 子, 特别是算子矩阵而言, 其谱性质的研究吸引了很多学者 (见文 [4,5] 及其参考文献), 但有关 Moore-Penrose 可逆性的讨论还比较少. 无穷维 Hamilton 算子是具有特殊结构的算子矩阵, 因而具备了很多不同于一般算子矩阵的性质. 所以, 本文的目的是利用无穷维 Hamilton 算子的结构特性给出其Moore-Penrose 可逆的等价条件.

2预备知识

先给出无穷维 Hamilton 算子定义.ˆ!

定义2.1设 X 是 Hilbert 空间,H=A C∈ B(X ⊕ X). 如果 B 和 C 为自伴B −A∗算子,则 H 称为无穷维 Hamilton 算子.

下面回顾线性算子理论中的一些基本知识. 设 T ∈ B(X),称

为 T 的约化极小模. 众所周知,γ(T) ＞ 0 当且仅当 R(T) 为闭[4].引理2.1[6]设 X 和 Y 为 Hilbert 空 间, 如 果 T ∈ B(X ⊕ Y) 具 有 矩 阵 形 式 T=并且 A 的值域在 X 中稠密,B/=0, 则 γ(T) ≤ γ(B).

利用引理 2.1,容易得出下面的推论.

推论2.1设 X 和 Y为 Hilbert 空间,A ∈ B(X),B ∈ B(Y) 和 C ∈ B(Y,X) 为给定的算子且如果 闭,则 R(B) 也闭.

引理2.2[7]设 Y 和 Z 为 Banach 空间,T ∈ B(Y,Z),F ⊂ Z 是有限维子空间. 如果R(T)+F 是闭的,那么 R(T) 也是闭的.反之亦然.

3主要结果

定理3.1设 是 X ⊕ X 上的有界上三角无穷维 Hamilton 算子. 如果 C 作为上的算子具有下面的矩阵形式

则下面条件等价:

(i)H 为 Mˆoore-Penrose! 可逆;

(iii)R(C1) 和 R(C2∗|N(C1))+R(A) 均为闭子空间.

证(i)⇒(ii) 无穷维 Hamilton 算子 H 在空间分解下具有矩阵形式

由于

且

为 R(A)⊥⊕R(A) ⊕ X 上的可逆算子, 因此 H 为 Moore-Penrose 可逆当且仅当

是 Moore-Penrose 可逆的. 由推论 2.1,H1为 Moore-Penrose 可逆.

(ii)⇒(i) 假设

即

则根据 (3.1) 式有

所以

由 H1的 Moore-Penrose 可逆性,H1∗也 Moore-Penrose 可逆, 结合可知存在使得

令 y0=y(1)0+y(2)0,于是

即 H 的值域为闭的. 因此,H 为 Moore-Penrose 可逆.

(ii)⇒(iii) 假设 H1为 Moore-Penrose 可逆.因此 H1∗也是 Moore-Penrose 可逆.利用推论

使得

(3.2) 式与 H1∗的 Moore-Penrose 可逆性即可得出 R(A1)+R(C2∗1)=R(A)+R(C2∗|N(C1)) 闭.

(iii)⇒(ii) 因为 C1为 Moore-Penrose 可逆, 即 R(C1) 闭, 因此 (3.2) 式成立. 由条件 (iii)可知 (3.2) 式右端算子的值域闭, 从而 H1∗的值域闭, 即 H1是 Moore-Penrose 可逆. 证毕.

由定理 3.1 可得 ˆ!

推论3.1设是 X ⊕ X 上的有界上三角无穷维 Hamilton 算子且R(A)⊥是有限维的,则 H 为 Moore-Penrose 可逆当且仅当 A 是 Moore-Penrose 可逆的.

证算子 H 具有矩阵形式 (3.1) 并且 R(A)⊥是有限维的,因此 (3.1) 式中的 C1是有限秩算子, 进 而 R(C1) 闭. 显然 R(C2∗|N(C1)) 是 有限 维空间. 因 此, 利 用引 理 2.2 和 定理 3.1 可得H 为 Moore-Penrose 可逆当且仅当 R(A)+R(C2∗|N(C1)) 闭, 即 R(A) 闭.

注1定理 3.1 是上三角无穷维 Hamilton 算子特有的性质, 对一般的上三角算子矩阵未必成立 (见例 1 和例 2).

假设 X= ℓ2,并且用 ei表示 ℓ2中的第 i 个分量为 1,其他分量为 0 的元素.

例1任意的 x=(x1,x2,···)∈ ℓ2,定义算子 A ∈ B(ℓ2),B ∈ B(ℓ2),C ∈ B(ℓ2) 为

易证 C=C∗,R(A) 不闭,R(B) 闭且 N(B)=R(A)⊥=span{e1,e2}.现在考虑算子矩阵

显然的值域闭,即 T1为 Moore-Penrose 可逆,定理 3.1 的条件 (ii) 成立.

另一方面, 因为 R(A1)=R(A) 不闭, 因此由 (3.3) 式容易看出 R(T) 不闭, 即 T 不是Moore-Penrose 可逆.

例2定义算子 A ∈ B(ℓ2),C ∈ B(ℓ2) 为

其中 x=(x1,x2,···)∈ ℓ2.

不难发现的值域闭,满足定理 3.1 的条件 (ii).

另一 方 面, 容 易证明 R(A)=R(A1) 不闭, 由 (3.4) 式 可看出 S 的值域 不闭,S 不是Moore-Penrose 可逆.

注2显然, 例 1 和例 2 中的算子 T 和 S 不是上三角无穷维 Hamilton 算子,所以定理3.1 不成立. ˆ例3算!子 A ∈ B(ℓ2),C ∈ B(ℓ2) 取 为例 1 中的算子, 则 C 为自伴算 子, 因此 H=为上三角无穷维 Hamilton 算子. 显然

的值域不闭, 即 H1不是 Moore-Penrose 可逆的. 由定理 3.1,H 不是 Moore-Penrose 可逆的.

下面讨论更一般的情形.

定理3.2设是 X ⊕ X 上的有界无穷维 Hamilton 算子, 其中 C 为

Moore-Penrose 可逆. 则下面两个条件等价:

(ii)X ⊕ X 上的无穷维 Hamilton 算子 为 Moore-Penrose 可逆,其中 A′在空间分解 X −→ N(C)⊕ N(C)⊥下具有如下形式

并且 A1=PN(C)A:X −→ N(C),A2=PN(C)⊥A:X −→ N(C)⊥,C1=PN(C)⊥C|N(C)⊥: N(C)⊥−→ N(C)⊥.

证由于 C 是 Moore-Penrose 可逆的自伴算子, 于是 N(C)⊥=R(C), 因此无穷维Hamilton 算子 H 在空间分解 X ⊕ N(C)⊕ N(C)⊥−→ N(C) ⊕ N(C)⊥⊕ X 下具有如下算子矩阵形式

显然,C1是可逆的自伴算子.此时存在 N(C)⊕ N(C)⊥⊕ X 上的可逆算子

与 X ⊕ N(C)⊕ N(C)⊥上的可逆算子

使得

故 H 为 Moore-Penrose 可逆当且仅当

其 次,由 于 C1是 自 伴 算 子,于 是 C1−1也 是 自ˆ伴 算 子!,再 注 意 到 B 的 自 伴 性 即 可得 知 B − A∗2C1−1A2为 自 伴 算 子. 此 外, 记那 么, 故:也是无穷维 Hamilton 算子.证毕.

注3定理 3.2 说明了无穷维 Hamilton 算子 H 中的元素算子 C 为 Moore-Penrose 可逆,那么其 Moore-Penrose 可逆性化为三角无穷维 Hamilton 算子的 Moore-Penrose 可逆性.

[1]Du H K,Deng C Y.The representation and characterization of Drazin inverse of operators on a Hilbert space[J].Linear Algebra Appl.,2005,407:117–124.

[2] 章里程, 廖祖华. 分块算子矩阵的 Moore-Penrose 逆 [J]. 数学的实践与认识,2005,35(8):168–172.

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[4] 王玉红, 侯国林, 阿拉坦仓. 一类上三角算子矩阵的点谱和剩余谱 [J]. 数学杂志,2014,34:931–940.

[5]Dong Z Q,Cao X H,Zhao H Y.The helton class operators and the single valued extension property[J].J.Math.,2014,34:1033–1043.

[6]Apostol C.The reduced minimum modulus[J].Michigan Math.J.,1985,32:279–294.

[7]M¨uller V.Spectraltheory of linear operators and spectralsystems in Banach algebra[M].New York: Springer-Verlag,1995.

MOORE-PENROSE INVERTIBILITY FOR SOME CLASS OF INFINITE DIMENSIONAL HAMILTONIAN OPERATORS

HAI Guo-jun,Alatancang
(School of Mathematical Sciences,Inner Mongolia University,Hohhot 010021,China)

Let X be an infi nite dimensional Hilbert space,we denoˆte by H the! bounded infi nite dimensional Hamiltonian operator acting on X ⊕ X of the form,where B and C are self-adjoint operators.In this paper,we consider the Moore-Penrose invertibility of the infi nite dimensional Hamiltonian operator.In the case when B=0 or C is Moore-Penrose invertible,by using space decomposition method,the equivalent conditions for H is Moore-Penrose invertible are given.Furthermore,some examples that illustrate the eff ectiveness of our results are given.

infi nite dimensional Hamilton operator;operator matrices;Moore-Penrose invertibility

tion:47A10;47B99

7A10;47B99

O177.1

A

0255-7797(2017)02-0358-07

2014-12-07 接收日期:2015-04-08

国 家自然科 学 基 金资助 (11371185;11362011); 内蒙古自 然 科学基金重 大 项目资助(2013ZD01); 内蒙古自然科学基金 (2015MS0117).

海国君 (1983–), 男, 蒙古族, 内蒙古通辽, 副教授, 主要研究方向:算子理论.