无旋转倾角的NAV/CNAV型GEO广播星历拟合

杜 兰，刘泽军，周佩元，方善传，刘 利，马高峰

1.信息工程大学导航与空天目标工程学院，河南 郑州 450001； 2.北京环球信息应用开发中心，北京 100094； 3.信息工程大学地理空间信息学院，河南 郑州 450001



无旋转倾角的NAV/CNAV型GEO广播星历拟合

杜 兰1，刘泽军1，周佩元1，方善传1，刘 利2，马高峰3

1.信息工程大学导航与空天目标工程学院，河南 郑州 450001； 2.北京环球信息应用开发中心，北京 100094； 3.信息工程大学地理空间信息学院，河南 郑州 450001

目前北斗GEO的星历拟合算法和用户卫星位置算法均引进了人为设置的5°倾角旋转，此外，少数星历参数还有超限现象。取消GEO的旋转倾角和抑制参数超限能够统一北斗混合星座的用户算法。基于第一类无奇点根数，分析了无旋转倾角的GEO两步法星历参数拟合算法。讨论了GEO的参数超限原因，提出采用固定1至2个超限参数取值的缩减参数拟合法。北斗GEO卫星在非地影期和地影期的拟合试验表明，拟合成功率和拟合精度能够保证，拟合用户距离误差(URE)的平均值优于3 mm；缩减参数拟合法能够抑制特定时段下的参数超限问题，但是拟合URE放大到2 cm。

GEO卫星；广播星历参数；无奇点根数； 摄动；用户距离误差

我国的北斗混合星座具有多GNSS时代的多卫星类型特征[1-2]。目前，以轨道几何参数表征轨道短期变化的卫星广播星历，以GPS标准导航电文NAV(GPS navigation)和增强的民用导航电文CNAV(civil navigation)为主。这两套星历参数，都能很好地拟合北斗近圆中高轨卫星MEO和IGSO，但是对于北斗GEO，仅顾及了小偏心率近圆轨道，忽略了小倾角特性，因此，即使人为旋转5°倾角，星历参数拟合仍有潜在的奇异性，导致直接拟合算法不稳定或者少数拟合参数出现超限现象[3]。此外，用户计算卫星位置时还需要反向旋转5°倾角以恢复GEO轨道的正确定向[3-5]。因此从完整流程来看，GEO的广播星历模型与IGSO和MEO并非完全一致。

针对GEO的小偏心率和小倾角，文献[6—7]引进了第2类无奇点根数及其根数摄动，设计了无奇点广播星历，并且可以同时适用于MEO和IGSO。但是，无奇点参数目前尚不普及，卫星位置计算公式也需要较大改动。文献[8]提出以第1类无奇点根数为拟合参数再转换为星历参数的两步法，也不用旋转倾角，但是仿真结果表明，该拟合算法不能很好地适应小倾角情况。

针对星历拟合参数的变化范围超出导航电文接口设计门限的参数超限问题，文献[3]介绍了GEO卫星广播星历参数超限的现象和规律，基于轨道动力学特性分析了Δn参数超限的原因，并提出了固定Δn参数+参数岭估计+调整拟合弧长的综合策略。该策略能解决参数超限，但是嵌套判断和调用多种算法过于复杂和繁琐，其中岭估计需要经验确定岭参数。

本文在文献[8]的基础上，进一步分析了无需人为旋转5°倾角的GEO星历参数拟合算法。首先，拟合参数集基于第1类无奇点根数，以消除小偏心率引起的数学奇异。其次，从摄动运动方程出发，讨论了3个长期摄动参数由于小倾角导致的系数放大。最后，针对GEO的参数超限时段，引进缩减参数拟合法。试验分析了包含地影期在内的北斗GEO星历数据拟合和卫星位置计算，结果表明，在不改变现有导航电文的参数接口设计条件下，统一北斗混合星座的星历拟合算法和用户算法是可行的，拟合精度优于5 cm。

1 GEO的两步法星历参数算法

卫星在惯性系下的轨道运动描述常采用3种轨道根数，即开普勒根数、第1类和第2类无奇点根数[9]。其中，第1类无奇点根数是专用于描述小偏心率轨道及其轨道变化的无奇点根数，并已长期用于近圆轨道卫星的轨道描述，如GPS的星历参数等[10]。

1.1 近圆轨道和第一类无奇点根数

经典开普勒根数(a,e,i,Ω,ω,M)分别表示轨道半长轴、偏心率、轨道倾角、升交点赤经、近点角距和平近点角。

在小偏心率情况下，用开普勒轨道根数描述近圆轨道具有奇异性。由于椭圆的拱线(即近地点和远地点连线)几何意义模糊，近点角距ω和平近点角M难以分离，两参数具有强负相关性。为此，引进了第1类无奇点根数σ1=[ae1iΩu]，

其与开普勒根数的关系为[7]

(1)

式中，二维偏心率矢量e1的大小等于偏心率，方向指向近点，并且椭圆运动方向的快变量采用新的组合量u，组合量去除了ω和M的负相关性。

在理想无摄运动条件下，描述同一轨道的3类轨道根数可以直接转换。在各种摄动力作用下，轨道的变化还对应了轨道根数的摄动。通常轨道根数的摄动变化依据时变特性分为3类，即长期项、长周期项和短周期项。但是，若仅仅描述数小时内的轨道星下点的运动特性，并保证拟合算法的稳健性和节省发播电文数据，通常要求用有限数量的参数表征主要的轨道变化，同时用户仍能够采用简便的解析公式计算卫星的受摄位置向量。

以16参数的GPS广播星历参数为例，虽然GPS卫星轨道具有小偏心率特点，但是却采用了开普勒根数和第1类无奇点根数的综合表示法[11]

(1) 轨道参数采用开普勒根数形式。其中将升交点赤经Ω修改为升交点经度Ωe=Ω-θg(θg表示Greenwich恒星时)，由于吸收了一阶地球自转效应，反映了星下点的运动特征。

1.2 无奇点拟合参数集

文献[8]提出先计算第1类无奇点根数形式的拟合参数再转换为标准广播星历参数的两步法，既保证了拟合算法的稳定性，同时具有转换简单的优点。该算法在MEO和IGSO卫星的星历参数拟合中均获得验证。

16参数NAV和18参数CNAV广播星历，除了星历参考时刻toe，基于第1类无奇点根数及其摄动的无奇点拟合参数集为[8,12-14]

(2)

(3)

1.3 星历摄动参数的超限和对策

1.3.1 星历摄动参数的变化范围

星历参数作为导航电文的数据内容，需要根据各参数变化范围进行接口设计，并在接口控制文档(interface control document，ICD)中按照规定的格式表示成二进制比特流的形式。为讨论方便起见，表1仅列出了NAV和CNAV的摄动星历参数的参数适用范围指标[11-13]。

表1 GPS 的NAV和CNAV接口设计的摄动参数适用范围Tab.1 Scope of application of perturbed parameters in ICD of GPS NAV and CNAV

从表1可以看出，CNAV在NAV接口设计基础上，调整了大部分摄动参数的适用范围，仅有idot和Δn(CNAV中称为Δn0)保持不变。此外，北斗导航电文与NAV相比，有两个摄动参数有变化，即Crc和Crs的适用范围放大了一倍[15]。

星历参数的变化范围必须控制在其设计的适用范围内，否则在编码导航电文时超过了系统设计分配给该参数的比特位限制，即参数超限[3]。

1.3.2 星历摄动参数的超限分析

(4)

式中，R表示摄动位。

由于GEO轨道的小倾角，式(4)的3个方程都有小分母问题。即使预先实施了旋转5°倾角，假定i=5°，有1/sini≈11.5，cosi≈1，代入式(4)可知：

长期的GEO星历拟合表明，只有Δn有星历超限现象，且通常出现在月球摄动引起的半月周期变化的峰值附近[3]。

1.3.3 参数超限的抑制新方法

在不能修改参数接口设计的条件下，文献[5]提出了几种抑制超限的方法，即固定Δn参数+参数岭估计+调整拟合弧长的综合策略。对于Δn出现超限的特定拟合时段，首先采用固定Δn参数，如接近门限的某数值，从而不参与解算，其实质是一种缩减参数的拟合算法。对于仍然超限的拟合时段，采用岭估计方法，通过压缩待估计参数的模，在保证拟合误差的前提条件下，将参数控制在接口范围门限以内。此外，还需要适当增加拟合时段长度对参数变化范围进行调控。

本文利用摄动参数间的动力学运动关系，提出一种改进的超限抑制方法。该方法采用单一的缩减参数拟合法，无需岭估计，也不需要反复改变拟合时段长度。

(5)

改进的超限抑制方法，流程如下：

(1) 采用无奇点参数拟合算法，判断Δn是否超限。

(4) 统一将无奇点拟合参数转换为星历参数。

2 试验和分析

采用北斗混合星座的5颗GEO卫星G1～G5进行两步法星历拟合试验。地固系卫星位置向量来自精密星历的轨道外推结果，外推10～11 d，并根据地球自转参数EOP转换至地固系，具体力模型设置参见文献[10]。非地影期的试验数据从2016年4月底开始，其中G4卫星由于轨道出现问题，缺少精密星历。地影期数据时段从2013年春分日开始，GEO每年两次的地影季分别在春分日和秋分日附近，每次持续46 d[16-20]；地影季期间，GEO卫星每天有约1 h位于地影内。

为适应每小时的星历更新模式，将10 d左右的连续轨道数据逐小时分组，每组分别包含2 h和3 h时段，时段内数据点间隔300 s。参数解算采用最小二乘拟合，当前后两次拟合的残差均方差(RMS)的相对偏差小于0.001时，迭代结束。GEO的轨道半长轴的参考值aref取为42 165 760 m[15]。

轨道参数化的误差常借助于URE进行表征，称为拟合URE[6]。URE是计算星历和钟差误差对定位影响的一个重要评价指标[1，21]。URE的来源主要是外推的轨道和钟差误差，此外还包括星历参数拟合和钟参数拟合的拟合误差。这里仅分析星历参数拟合的单项影响，即将事后精密星历数据作为轨道位置真值，因此评定的星历计算和URE均是数学意义上的拟合精度，不包括轨道和钟差自身的计算和预报误差。拟合URE是轨道位置分量均方差的加权平均[4-5]，即

2.1 拟合次数和拟合精度

分别对地影期和非地影期数据时段进行拟合，图1给出了2h拟合时段的NAV星历拟合统计结果，图2给出了3h拟合时段的CNAV星历拟合统计结果。为了对比混合星座的3类轨道，图2给出了CNAV星历对北斗混合星座的14颗GEO/IGSO/MEO卫星的结果。

图1 NAV星历拟合结果(非地影季(左)和地影季(右))Fig.1 NAV-ephemeris fit results during non-eclipse (left) and eclipse(right) seasons

图2 CNAV星历拟合结果(非地影季(左)和地影季(右))Fig.2 CNAV-ephemeris fit results during non-eclipse (left) and eclipse(right) seasons

分析图1、图2可以看出：

(1)GEO的拟合成功率均为100%，拟合迭代次数均稳定为3或4次。可以看出，虽然基于第1类无奇点根数的拟合参数对小倾角轨道描述有数学奇异问题，导致解算法方程存在潜在的病态性，但是各试验数据段均没有出现迭代发散的现象。

(2) 地影数据对GEO径向拟合精度影响最为显著，因而直接反映到拟合URE。对比图1(a)和图2(a) 的左右两图，尤其是图2(a)的3hCNAV拟合，径向拟合RMS的最大值达到甚至超过沿迹方向。

(3)GEO拟合URE统计平均值均稳定优于3mm(图1(b)和图2(b))；非地影期的最大值优于6mm，地影期间可超过1cm。

(4) 过地影数据会影响3～5个连续时段的GEO拟合URE。图1(c)和图2(c)的右图分别给出了G2星的时序拟合URE，每天1h的进出地影期间，光压摄动力消失，引起轨道不平稳变化，导致卫星每天相关的2h或3h拟合时段出现连续一致的跳变现象，比无地影时高出2～4倍。

(5)GEO卫星的位置拟合精度与其他两类卫星量级相当(图2(a))。由于2h对应GEO和IGSO的1/12轨道弧段，对应MEO则约1/6弧长，因此MEO的拟合精度略低些，尤其是沿迹向。

2.2NAV星历摄动参数的变化范围

(2)NAV星历参数Δn出现大幅超限现象，其限差为±3.725 3e-009，对应图中的两条直线。5个GEO卫星的多个10d试验数据统计中，超限时段共计913组，占总时段的40%，见表2。

图3 GEO的NAV星历参数和的变化范围

2.3NAV超限抑制算法

为满足参数接口设计，采用固定超限参数取值的缩减参数拟合算法。首先，对Δn超限时段采用单参数缩减重新拟合；其次，对仍超限的剩余时段采用双参数缩减重新拟合。固定值方案为

表2列出了超限时段的统计。采用单参数缩减的拟合算法，将占40%总时段的Δn超限时段减少到17个，再对这不到1%的超限时段进行双参数缩减的拟合计算，即可完全消除超限问题。

表2 超限时段的统计Tab.2 Statistics of fitting arcs with perturbed parameters out of limits

图4列出了全部Δn超限时段的单参数缩减的拟合结果。横坐标是超限时段个数，每颗星的拟合参数值进行了叠加，与图3相比可知：

2.4 CNAV超限抑制算法

图4 固定Δn的NAV星历参数和的变化范围

3 结 语

实现北斗混合星座的用户算法通用性，需要对GEO卫星采用无人为倾角旋转的星历拟合算法。已有文献提出采用基于第1类无奇点根数的MEO和IGSO星历参数拟合算法，但是没有针对GEO进行广泛的拟合验证和分析。本文选取了北斗的5颗GEO卫星在地影季和非地影季的10 d轨道数据，就GEO拟合精度、成功率和星历参数接口设计开展试验分析，并对比了MEO和IGSO的拟合结果。通过16参数NAV和18参数CNAV的星历拟合试验，初步结果表明：

图5 Δn超限和idot超限的NAV星历拟合结果Fig.5 NAV-ephemeris fit results with Δn and idot out of limit

图6 固定Δn的CNAV星历参数的变化范围Fig.6

(1) 基于第1类无奇点根数的星历参数拟合算法，能够适用于GEO的星历拟合，并且能够反映出地影数据对轨道拟合的显著影响。GEO的拟合URE精度与MEO和IGSO的结果相当，拟合URE统计平均值均稳定优于3 mm，最大值优于5 cm。

(2) GEO卫星有星历参数Δn(或Δn0)的超限现象。超限拟合时段达到总时段的40%，其根源是第1类无奇点根数对GEO轨道描述的奇异性。

(3)缩减参数拟合法能够解决GEO参数超限问题。拟合参数的减少导致轨道面外法向位置分量的拟合误差变大，但是能够满足拟合URE的精度要求。

致谢：特别感谢国家留学基金委对笔者在德国地学研究中心公派访学的资助。

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(责任编辑：陈品馨)

GEO NAV/CNAV-type Broadcast Ephemeris Fitting without Rotation of Inclination

DU Lan1，LIU Zejun1，ZHOU Peiyuan1，FANG Shanchuan1，LIU Li2，MA Gaofeng3

1.College of Navigation & Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China； 2.Beijing Global Information Application and Development Center, Beijing 100094, China； 3.Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China

The GPS-type broadcast ephemerides are currently used by BDS constellation.However, a 5°-rotation added on the original orbital inclination is needed in the GEOs ephemeris parameters fitting algorithm as well as in the user satellite position computation because of the singularity due to small inclination.Besides, the phenomena of exceeding the given boundary happen occasionally for some ephemeris parameters of GEOs.In order to unify the user ephemerides algorithm for the hybrid constellation, a two-step GEO broadcast ephemerides fitting algorithm was analyzed based on the first class nonsingular orbital elements.After the investigation on the reason for the variations of some ephemeris parameters out of limited range, a reduced fitting parameter set was adopted by giving the underlying one or two parameters with fixed values.Fit simulations for 5 GEOs during both eclipsing and non-eclipsing periods show that the two-step fitting algorithm has considerable robustness to ensure the success rate and fitting accuracy.The mean fitting user range error of GEOs with 2 h for NAV and 3 h data set for CNAV are better than 3 mm.For specific fit arcs with the boundary-exceeding problem, it can be fully avoided by using the fitting algorithm with a reduced fitting parameter set.However, the fitting URE will increase to 2 cm.

GEO satellites; broadcast ephemeris parameters; nonsingular orbital elements; perturbation; user range error

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41204022；41374042；U1431115)

DU Lan(1970—)，female，PhD，professor，majors in orbital dynamics and satellite navigation.

杜兰，刘泽军，周佩元，等.无旋转倾角的NAV/CNAV型GEO广播星历拟合[J].测绘学报，2017,46(3)：297-306.

10.11947/j.AGCS.2017.20160393.

DU Lan，LIU Zejun，ZHOU Peiyuan，et al.GEO NAV/CNAV-type Broadcast Ephemeris Fitting without Rotation of Inclination[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(3):297-306.DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160393.

P228

A

1001-1595(2017)03-0297-10

国家自然科学基金(41204022；41374042；U1431115)

2016-08-11

修回日期：2017-02-10

杜兰(1970—)，女，博士，教授，研究方向为轨道力学和卫星导航。

E-mail：dulan2015@qq.com