分布随从力作用的双参数地基上悬臂管稳定性研究

郑 坤,郭长青,王 凡

(南华大学 a.城市建设学院；b. 数理学院， 湖南 衡阳 421001)

分布随从力作用的双参数地基上悬臂管稳定性研究

郑 坤a,郭长青b,王 凡a

(南华大学 a.城市建设学院；b. 数理学院， 湖南 衡阳 421001)

为了对分布随从力作用时双参数地基上悬臂管稳定性进行分析，利用Euler-Bernoulli梁模型创立输流管道的运动微分方程，然后运用传递矩阵法进行求解。通过分析悬臂输流管的无量纲复频率和失稳时临界流速间的关系，在地基刚度取4种不同值情况下研究悬臂管道受分布随从力和流体流速作用时的振动情况。结果表明：①地基刚度取值一定时,悬臂管道受分布随从力和流体流速影响时的振动特点大不一样；②无量纲分布随从力与流体流速取值一定时,管道系统的振动状况随着地基刚度增加而更加稳定,相比线性刚度的影响剪切刚度的作用尤为突出。

双参数地基；分布随从力；悬臂输流管道；地基刚度；无量纲分布

1 研究背景

输流管道被广泛应用于各种工业设施和基础建设当中, 特别是石油、水利、市政等工程领域。当管道埋设在地下土壤时,土壤就充当于具有一定弹性参数的地基，对管道有一定支承作用。对管道振动进行研究是非常有必要的,尤其是实现减少管道振动和降低噪声有极其重要的意义。面对复杂的土壤地基条件，理论研究时很难实现与实际地基情况一致，对此，国内外一些学者为了简化研究引入了各种地基模型尽可能符合现实情况，有的引入单参数的模型[1]，有的则采用双参数的模型[2]。其中Winkler模型[3-6]就是典型的单参数地基模型，Pasternak模型[7-11]则是双参数地基模型。另外影响管道稳定性因素中，非保守力和管道的支承条件也是非常重要的。管道所受的非保守力主要是由流体的黏滞阻力所产生，随着管道的变形而变化，其方向始终与曲线相切，即为分布随从力，同时悬臂管道的稳定性相对较差。因此，此文对悬臂输流管道振动特点进行研究，在随从力的基础上，采用Pasternak地基模型，运用矩阵传递法求解管道的无量纲运动微分方程，得出其相关结论。

2 运动方程

图1为悬臂输流管受分布随从力时Pasternak地基上的分析模型。忽略次要因素，运用Bernoulli-Euler梁的模型进行计算，管内流体视为恒定流,地基简化为双参数弹性地基，随从力沿管道挠度切向布置。

注：K为简化后地基线性弯曲刚度；G为简化后地基剪切刚度；U为管道内流体流速；q为分布随从力。

管道简化后的运动微分方程[12]为

(1)

等效后Pasternak地基的反力F和位移W的关系[13]为

(2)

考虑随从力和双参数地基因素并将式(2)代入式(1)中得管道的运动微分方程为

(3)

式中：w(x,t)为管道y方向位移；x为管道x方向位移；t为时间；EI为管道抗弯刚度；L为管道计算长度；m为单位长度管道质量；M为单位长度上管内流体质量。

为了方便计算，引入无量纲量，即：

(4)

式中符号意义同式(3)，另外β为质量比;γ为无量纲随从力;ξ为无量纲x方向位移;η为无量纲y方向位移;u为无量纲流速;k为无量纲地基弯曲刚度;g为无量纲地基剪切刚度。

利用式(4)，将式(3)转化为

(5)

3 传递矩阵法

利用参考文献[14]中所用传递矩阵法来求解式(5)，设

(6)

式中：i为虚数单位；An为n阶对应振型函数；ωn为系统第n阶固有频率。

把式(6)代入式(5)中得

(7)

由力学中梁弯曲的知识可知

(8)

式中：Q为剪力；T为弯矩；θ为转角。

将式(6)展开为

η(ξ,τ)=A1eiω1ξ+A2eiω2ξ+A3eiω3ξ+A4eiω4ξ。

(9)

先将式(9)代入式(8)中，然后联立式(6)中的3个式子得4个方程,其矩阵为

(10)

式(10)简化为

[Z]=[Q(x)][A] 。

(11)

令式(11)中x=0得

[A]=[Q(0)]-1[Z]j-1，j=1,2,3,…,n。

(12)

将式(12)代入式(11)中得

[Z]j=[Q(l)][Q(0)]-1[Z]j-1。

(13)

令[B]=[Q(l)][Q(0)]-1为管道的传递矩阵，则悬臂管道的边界条件为

(14)

管道的左边和右边的边界条件分别用[RL]与[RR]表示,并把式(14)代入式(13)中得

[H][Z]=[0] 。

(15)

其中[H]=[RL][B][RR]。

4 计算结果与分析

4.1 悬臂管颤振失稳临界流速

通过计算得出，当地基刚度取值分别为g=10,k=10;g=50,k=50;g=50,k=300;g=300,k=50时，悬臂输流管道处在颤振失稳时临界流速uc和分布随从力γ(γ<0时代表流速和分布随从力同向)之间的关系，如图2所示。

图2 地基刚度取不同值时悬臂输流管道失稳时临界流速和分布随从力的关系Fig.2 Relationship between critical velocity and distributed follower force of cantilever pipe at unstable state with different foundation stiffness values

从图2中可知：地基刚度取4组不同值时，随分布随从力增大，悬臂输流管道上发生颤振失稳时的临界流速不断变小；管道所在的地基刚度增加会使得管道更加稳定，相应的临界失稳流速变大。通过比较发现，相比线性弯曲刚度而言，地基的剪切刚度对临界流速的影响更大些，当γ<0时，临界速度跟着分布随从力增大而变大，反之则变小。

4.2 不同参数取值时管道振动情况

4.2.1 流速对管道稳定性的影响

根据矩阵H， 给定各无量纲参数值时,即可求得特征值S。特征值S可乘以-i转化为复频率Ω，即

Ω=-iS=ω-αi≡Ωr+iΩi。

(16)

由数学知识可知，实矩阵H求得的特征值S一定是一对共轭复数或实数。特征值每取一组值就对应管道某种振动状态。

图3—图5是当β=0.5，流速u分别取0，5，15时,地基刚度取不同组合值条件下特征值的实部、虚部与分布随从力γ之间的关系。

图3 当β=0.5，u=0时,g和k取4组值情况下管道分布随从力和复频率之间的关系Fig.3 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=0

图4 β=0.5，u=5,g和k取4组值情况下管道分布随从力和复频率之间的关系Fig.4 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=5

图5 β=0.5，u=15,g和k取4组值情况下管道分布随从力和复频率之间的关系Fig.5 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=15

从图3中可知：当β=0.5，u=0，分布随从力方向与流速方向相反时，系统1阶模态在不同的地基刚度取值下先等幅振动，然后发生颤振失稳。管道系统先是1阶模态失稳，再是2阶模态失稳；当分布随从力方向与流速方向相同时，分布随从力从0增加到400时系统始终为等幅振动。

从图4可知：当β=0.5，u=5时，分布随从方向和流速方向相反，线性刚度和剪切刚度较小时，系统的1阶模态随着分布随从力的变化，开始处于静态状态，然后处于动态稳定，而2阶模态先是动态稳定然后是颤振失稳；在线性刚度和剪切刚度较大时，系统的1阶模态开始处于动态稳定，最后发生颤振失稳，2阶模态则是发生颤振失稳；在分布随从力方向和流速相同时，系统的1阶和2阶模态都是颤振失稳。

图6 β=0.5，γ=10,g和k取4组值情况下流速和管道复频率之间关系Fig.6 Relationship between complex frequency and flow velocity with different foundation stiffness values when β=0.5 and γ=10

图7 β=0.5，γ=30,g和k取4组值情况下流速和管道复频率之间关系Fig.7 Relationship between complex frequency and flow velocity with different foundation stiffness values when β=0.5 and γ=30

从图5中可知：当β=0.5，u=15时，分布随从方向和流速方向相反时，在线性刚度和剪切刚度较小时，随着分布随从力的增加，系统1阶模态开始处于动态稳定状态，然后是颤振失稳，而系统2阶模态开始慢慢进入颤振状态。在线性刚度和剪切刚度较大时，系统的1阶模态振动静态状态，后保持动态稳定状态，最后发生发散失稳，2阶模态则是发生颤振失稳；在分布随从力方向和流速相同时，随着分布随从力从0～400变化时，系统1阶模态先静态稳定后动摇稳定，2阶模态则是先动态稳定后静态稳定。

通过对比图2—图5可知，随着线性刚度和剪切刚度的增加，系统的稳定性明显增强，同时剪切刚度的影响要大于线性刚度的影响。管道系统1阶和2阶模态大不同。

4.2.2 分布随从力对管道稳定性的影响

图6、图7分别给出γ=10和γ=30时，β=0.5下输流管道特征值得实部、虚部与流速u之间的关系。

从图6可知：流速从0～15的过程中，当β=0.5，γ=10，k=g=10时，系统1阶模态开始由动态稳定变为静态稳定，然后处于动态稳定，最后发生静态稳定，而2阶振动模态则是处于动态稳定；当β=0.5，γ=10，k=g=50时，系统的1阶模态开始由动态稳定变为静态稳定，然后发生颤振失稳，而2阶振动模态始终处于稳定状态，经历了由动态变为静态的变化；当β=0.5，γ=10，g=50，k=300时，系统1阶模态开始动态稳定，然后变为静态稳定状态，最后又变成动态稳定。2阶模态振动与k=g=50时一致；当β=0.5，γ=10，g=300，k=50时，系统的1阶模态开始处于动态稳定状态，后发生发散失稳。2阶振动模态始终是动态稳定。综上所述，地基刚度取不同值时管道振动状态各不相同。

图7与图6对比可知，当β=0.5，γ=10与β=0.5，γ=30时系统的稳定状态基本相似。

通过图6与图7对比可知：对于同一种地基取值，管道发散失稳时的临界速度跟着随从力的变大而变小；当分布随从力不大时，对管道系统不会产生什么影响。虽然管道系统的1阶模态和2阶模态有较大不同，但是开始都是发生动态稳定。

5 结 论

(1) 地基刚度一定时,悬臂输流管道在分布随从力影响下发生发散失稳时无量纲临界流速随着分布随从力增加而变小；地基刚度的增强有利于管道稳定性。

(2) 质量比和地基刚度取定值时, 流速的增加使得系统振动状态出现较大变化。当流体流速和地基刚度一定时,管道系统发生失稳时的类型和流速在分布随从力作用下都不同。当质量比和分布随从力一定时，系统的稳定性随地基刚度的增加而增强。

(3) 对于同一种地基取值，管道失稳时的流速跟着分布随从力变大而变小；当分布随从力不大时，则不会对整个系统造成影响。管道系统的1阶模态和2阶模态会较大不同，但是开始都是发生动态稳定。

(4) 对比线性弯曲刚度对管道系统振动的作用，发现剪切刚度对悬臂输流管的稳定性作用更大。

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(编辑：姜小兰)

Stability of Cantilever Pipe Conveying Fluid with DistributedFollower Force on Two-parameter Foundation

ZHENG Kun1, GUO Chang-qing2, WANG Fan1

(1.School of Urban Construction, University of South China, Hengyang 421001, China;
2.School of Mathematics and Physics, University of South China, Hengyang 421001, China)

Through analyzing the relationship between dimensionless complex frequency and critical flow velocity ofcantilever pipe, the stability of cantilever pipe conveying fluid with distributed follower force on two-parameter elastic foundation was researched. The vibration of the cantilever pipe under actions of distributed follower force and flow velocity with four different values of foundation stiffness were also analyzed. On the basis of Euler-Bernoulli beam model, differential motion equations of pipes were established and the equations were solved by using transfer matrix method. Results show that 1) with given foundation stiffness, vibration characteristics of the cantilever pipes under the action of distributed follower force is obviously different from that of fluid velocity; 2) with given dimensionless distributed follower force and fluid velocity, the bigger foundation stiffness is, the more stable vibration condition of the pipes system is. In addition, the influence of shear stiffness is more obvious than that of linear stiffness.

two-parameter foundation; distributed follower force; cantilever pipes conveying fluid; foundation stiffness; dimensionless distribution

2015-12-28；

2016-02-29

郑 坤(1988-)，男，湖北黄冈人，助理工程师，硕士，主要从事流固耦合力学研究，(电话)15802601875(电子信箱)zk0933@sina.com。

郭长青(1965-)，男，湖南郴州人，教授，博士，主要从事流固耦合力学研究，(电话)13875766891(电子信箱)GuoCQ@hotmail.com。

10.11988/ckyyb.20151119

2017,34(4):61-65,70

TV134

A

1001-5485(2017)04-0061-05