奇异值分解理论在学生成绩评价中的应用

李军　王振　尤兰

摘要：本文利用矩阵理论中的奇异值分解方法，对学生各门课程的成绩，既考虑其从不同角度评价所产生的差异性，也考虑其中偶然因素对成绩的影响，以及各门课程之间的相关度，建立了一种基于奇异值分解法的多评价结论分类集结模型，并运用在对学生的成绩等数据进行具体的分析中，对学生所学知识结构给出一个更合理的评价。

关键词：奇异值分解；多评价；学生成绩；一致度；可信度

【中图分类号】G712.4

奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，是矩陣分析中方阵对角化的推广，在信号处理、统计学等领域有重要应用。

在现代高等教育中，学生成绩评价是综合素质测评中的重要一环。利用奇异值分解法对学生成绩进行分析，可以一定程度上消除各门课程成绩排名的差异，但考虑到同类课程因反映的能力是相近的，这时成绩排名也应较接近，而不同类课程因反映的能力不同，成绩排名也可能有差别，在用奇异值分解法的时候应消除同类课程排名的差异，即对各门课程的成绩进行分类集结，从而得到令人满意的较为科学的学生能力评价。

本文将各门课程依据各门课程的关联程度分为数学、外语、计算机、专业课、文科等五大类，将每一类中各课程的学生成绩列出，提取这些数据组中共性的评价信息，剔除其中的非共性的成分。接着，将这五个数据组分别构成矩阵，再利用奇异值分解法对矩阵进行分解。得到的非零奇异值是原矩阵的特征的量化，数值大的奇异值比数值小的奇异值描述了矩阵的更多的特征。通过将较小的奇异值设为零，再进行逆运算，从而得到一些新的矩阵。然后，对这些新的矩阵的一致可信度做分析，在决策中按照“一致性”与“可信度”的相对重要性程度选取参数，对不同的参数进行组合，从而体现出学生成绩数据不同组合的效果。最终，寻找出“最满意的评价结论”，从而了解学生对所学知识的掌握情况。

因限于篇幅，这里仅对数学类的成绩进行分析，其他类的课程成绩可类似处理。本文数据来源于江苏某高校12级电气专业某班学生的成绩（见表1），共选取高数上、高数下、线性代数、复变函数与积分变换、概率论与数理统计五门课程的成绩。表1中的加权成绩公式为：加权成绩 ，其中高数上、高数下、线性代数、复变函数与积分变换、概率论与数理统计成绩分别用 、 、 、 、 表示。

1 奇异值分解过程

1.1奇异值分解

将采集到的学生数学成绩构成实矩阵 ，其秩为5。对矩阵 进行奇异值分解（见公式1），得到正交矩阵 、 以及对角矩阵 和非零奇异值 。

（1）

非零奇异值 用于描述矩阵 中5个特征的量化比较， 数值大的奇异值比数值小的奇异值描述了 的更多的特征。因此可将 中较小的值设置为 ，从而修改 及 ，通过逆运算，得到修正的矩阵 ，用修正后的矩阵 代替原矩阵 ，达到“剥离噪声信息”的目的。具体做法是 ： 保留 中对角线上最大的前 个奇异值，而将其他的 个值置为 ，得到新对角阵 及 。

1.2一致度可信度分析

在评价分析中，一方面要尽量减少学生数学各科成绩间的差异，从而提高评价结论之间的一致性；另一方面又要使修正后的矩阵与原矩阵相吻合，避免较大的偏离，保持可信度。因此一致度与可信度是相互平衡，此消彼长的关系。两个指标的具体计算如下：

一致度是指矩阵 与矩阵 的贴近程度，记为 ，计算公式为

。 （3）

其中， 为矩阵 的Fronbenius范数， 随着 取值的减少而增大。

可信度是指矩阵 与原矩阵 的贴近程度，记为 ，计算公式为

， ， ， 。 （4）

为了同时满足一致度与可信度的要求，需要构造一个新的指标，定义为“一致可信度”指标，记为 ，定义为

（5）

其中， ， 。 为线性组合部分，此部分表示一致度与可信度的互补性； 为非线性组合部分，此部分表示一致度与可信度的均衡性。可按照“一致度”和“可信度”的相对重要程度来设定 的值。

记 ， ， 。选取 的值，使得 的整体离散程度最大，从而尽可能地体现出不同k值下组合效果的差异。可以使用如下规划模型

（6）

并借助MATLAB软件算出 的值。

若取 ， ，由（6）式得 ， ，归一化后 ， ，将所得 ， 代入式（5），得到表2中一致可信度分析数据。

1.3最终排名

由表2、表3可知取 时，近似矩阵 ，是去除“噪声”后，最接近学生数学成绩的数据。由公式（2）得到近似矩阵 ，具体数据见表4。

2 结论

在上面的分析中，学生A04和A06的排名发生了变化，虽然A04的原始成绩的加权平均为88.7，而A06的原始成绩的加权平均为88.2，但A06的成绩更稳定。考虑到若一位同学数学成绩较好，应该是几门数学课成绩都较好，而不是有的分数较高，有的分数较低。所以在调整后的成绩排名中，A06的排名比A04的高。这说明调整后的成绩排名更合理。

本文采用的奇异值分解法，对大学生成绩进行分析。和简单的加权分析方法相比，平时采用的简单加权方法只能简单的评价学生成绩，无法考虑学生成绩中考察方法、角度的差异和主观因素的影响，而奇异值分解法考虑到这点，去除“噪声”干扰，更为真实的分析学生的成绩。奇异值分解法能对学生成绩做出科学的评价，对教学工作以及学生自我评价具有极高的参考价值。由此得出，奇异值分解法可以成为学生成绩可行而又科学的评价方法。

参考文献：

[1] David C. Lay，Linear Algebra and Its Application[M]. Third Edition， 刘深泉等译，机械工业出版社，2005.

[2] 王宗军. 综合评价的方法、问题及其研究趋势[J]. 管理科学学报，1998，1（1）： 75-79.