函数项级数非一致收敛判别方法的探讨

王菲菲+任晓阳

【摘要】一致收敛和非一致收敛是函数项级数的重要性质，其中一致收敛的判别所依循的定理和方法较多，而居于同样地位的非一致收敛的判别方法中，除了定义法外其余方法并不常见。因此本文重新归纳探讨判别函数项级数非一致收敛的方法，以方便解决函数项级数的相关问题。

【关键词】函数项级数；；和函数；非一致收敛；判别

【中图分类号】O173

一，函数项级数的相关知识

函数项级数在收敛时是函数的一种表示方法，这种表示方法可以从更深刻的背景上描述一个函数的性态：连续性，可积性，可微性等。在有了函数项级数的知识后，就存在了讨论如何通过无穷多个函数的叠加来产生新函数以及研究这样产生的新函数的性质的可能性，而函数项级数的一致收敛性和非一致收敛性在其中起了关键作。

定义：设{ }是定义在数集D上的一个函数列，表达式 称为定义在D上的函数项级数，简记为 ， 称 为函数项级数 的部分和函数列。

若 ，数项级数 收敛，即部分和 ，

当 时极限存在，则称级 在点 收敛。若在 处， 均收敛，则称函数项级数 在D上收敛。

级数 在D上每一点 与其对应的数项级数 的和 构成一个定义在D上的函数，称 为级数 的和函数，即 = 。

二，非一致收敛的定义

若 ，则称函数项级数

在D上非一致收敛。

三，引进非一致收敛的意义

函数列理论中的重要问题是{ （x）}的相关性质（连续性，可积性，可微性等）在极限过程中是否依旧保持？而在函数项级数中，即 确定的和函数s（x）是否有有限和的相关性质，即：

⒈若

则

即 函数项级数的求和符号与极限符号能否交换？

⒉若对任何正整数n， 在 上均黎曼可积，则和函数s（x）是否在 上也黎曼可积？若此时可积，

即 函数项级数的求和符号和积分符号能否交换？

⒊若对任何正整数n， 在 上可导，则s（x）在 是否可导？

即 函数项级数的求和符号与导数运算能否交换（逐项可导）？

上述三种情形在 收敛的情况下并不一定成立，进而猜测，在附加一定的充分条件下使上述结论成立，因此引进了收敛性较强的一致收敛，从而深入研究和函数的相关性质。综上，如何判别函数项级数的非一致收敛就变成一个重要且亟待解决的问题。

四， 非一致收敛的判别方法

1.函数项级数非一致收敛的 定义

，则函数项级数在区间D上非一致收

敛。

例1.试讨论函数项级数 的敛散性。

解： 当 时，有

S（x）= ， 取 ，无论n取多大，只要取 ，就有 =

，综上，由非一致收敛的定义知

非一致收敛。

2.确界法

若函数项级数 的余项为 ，且 =

，则函数项级数在D上非一致收敛。

例2.求证函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：因为 ，则有s（x）= ，又因为

，即 在 上非一致收敛。

3.利用柯西收敛准则

（1）柯西收敛准则否定形式： 在D上非一致收敛

，使 。

（2）柯西收敛准则推论1的逆否命题：若函数列 非一致收敛于0，则函数项级数

非一致收敛。

（3）柯西收敛准则推论2：若函数项级数 在区间D上点点收敛，且在区间D上 存在一点列 ，使 ，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

例3.讨论函数项级数 在 上的一致收敛性。

解：取 ，从而使得

。综上，由柯西收敛准则知函数项级数 在 上一致收敛。

例4.讨论 在 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在 上点点收敛，又知， ，有 ，则由柯西收敛准则的推论2知 在 上非一致收敛。

例5. 证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：函数项级数 在 上点点收敛，取 ，此时有

，所以， 不趋于0，则由柯西收敛准则的推论2知 在区间 上非一致收敛。

4.利用和函数的不连续性

若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于和函数s（x），且存在 ，使s（x）在

处不连续，则函数项级数 在区间D上非一致收敛于s（x）。

（1）此方法在和函数比较容易求得的情况下应用简便。

例6. 证明：函数项级数 上非一致收敛。

证明：由题知 ，且 ，当x=1时， ，

，而 ， 在

x=1处不连续，而 在区间上连续，综上，函数项级数 上非一致收敛。

5.利用端点发散性判别

若函数项级数 在区间 上点点收敛，但在左端点 处发散，

且 在左端点 处右连续，则函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：假设 在 上一致收敛，则

，则在上式中，令 ，得 ，再由柯西收敛准则知 收敛，这与已知矛盾。即得函数项级数 在 上非一致收敛。（定义域为 的情况，同理可证）

例7. 讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=1处连续，而函数项级数 在x=1处，即数项级数 发散，故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例8. 讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解： 显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=0处连续，而函数项级数 在x=0处发散， 故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例9. 证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：假设 在区间 上一致收敛，则将区间 看成 ，则由

，知数项级数 收敛，显然矛盾。综上，函数项级数 在区间 上非一致收敛。

五，小结

在判别非一致收敛的过程中，某一种方法对某一类函數项级数较为简便，非一致收敛的判别往往与函数项级数的某种特殊性相关，以某端点的性质最为常见。实际上，对函数项级数的非一致收敛性的证明除了以上较常用的详细介绍的五种方法外还有多种方法，如：①若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于s（x），且 ， ，有 ，则函数项级数 非一致收敛于s（x）。 ②设对任意的自然数n，函数 在区间D上都是单调增加（或单调减小）的，如果存在数列 ，使级数 发散，则函数项级数 在区间D上

非一致收敛。 ③设对任意的 ， 为单调数列，如果存在数列 使 不存在，或者 存在但不为0，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

【参考文献】

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