二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法研究

李 琦，董 盟，高军萍

（河北工业大学 电子信息工程学院，天津 300401）

二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法研究

李 琦，董 盟，高军萍

（河北工业大学 电子信息工程学院，天津 300401）

基于二维周期互补阵列偶集，通过设计一种新型的移位序列，利用交织方法构造二维二元零相关区周期互补阵列偶集，进而利用一种新的逆Gray映射，生成二维四元零相关区周期互补阵列偶集.结果表明，阵列偶集中各个子集之间具有良好的相关特性.该方法将周期互补序列偶的思想应用到阵列集的构造中，给出了一种二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法.该构造方法根据零相关区长度的取值不同，能够获得大量新的构造结果，从而为实际工程提供更多的信号选择.

周期互补阵列偶集；零相关区；交织方法；移位序列；逆Gray映射

0 引言

具有良好的相关特性的二维阵列集在时频编码、孔径成像、位置探测等领域有广泛的应用.为了寻找具有良好性能的二维阵列，唐小虎等人首次将零相关区的概念引入阵列集的构造中[1].通常构造的零相关区都是在原点周围一个矩形区域内的相关函数为零[2-3]，文献 [4]介绍了一种构造十字形零相关区的构造方法，其零相关区是矩形零相关区的1.5倍.文献 [5]将二元零相关阵列集推广到三元.文献 [6]基于二维最佳二进阵列，利用逆Gray映射构造了一类最佳二维四元零相关阵列集.为了克服阵列的相关函数、序列长度与数目的理论限制，赵晓群等学者提出了阵列偶的概念并对其进行了深入研究[7-8].文献 [9]给出了一种基于二元序列、逆Gary映射构造四元序列的新方法.文献 [10]基于二维二元周期互补阵列集和移位序列，利用逆Gray映射，提出了一种二维四元零相关区互补阵列集的构造方法.此外，互补序列集、序列偶集的构造[11-14]可以推广到阵列集的构造中，从而为阵列偶集的构造提供新的思路与方法.

本文给出了一种二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法.基于二维周期互补阵列偶集，通过一种新型移位序列选择合适的零相关区长度，经过交织生成二维二元零相关区周期互补阵列偶集，再利用一种新的逆Gray映射，生成二维四元零相关区周期互补阵列偶集，各个子集之间具有良好的相关性.

1 基本概念

定义1[7]设x=（x0，x1，…，xL-1）和y=（y0，y1，…，yL-1，） 都是周期为L的序列，则x和y构成一个序列偶，记为（x，y），序列偶的周期自相关函数为

其中：i+τ=（i+τ）mod L；*表示复数共轭.二元序列偶的取值为 {-1，1}，可用 {0，1}来表示，四元序列偶的取值为 {±1，±j}，可用 {0，1，2，3}来表示.若为二元序列偶，式（1）不需取共轭.

定义2[7]设X=[xi，j]，Y=[yi，j]，其中0≤i≤N1-1，0≤j≤N2-1，则称（X，Y）是一个N1×N2阶阵列偶，对于任意的（τ1，τ2），0≤τ1≤N1-1，0≤τ2≤N2-1，阵列偶的周期自相关函数表示为

定义3[7]设（X，Y），（U，V） 均为N1×N2阶阵列偶，对于任意的（τ1，τ2），0≤τ1≤N1-1，0≤τ2≤N2-1，（X，Y），（U，V）的周期互相关函数表示为

定义4[13]设为M个阵列偶集构成的阵列偶集合，每个阵列偶集包含P个N1×N2阶二维子阵列偶.其中，，0≤i≤N1-1，0≤j≤ N2-1，阵列偶集Ar′的相关函数满足下式

其中，F为非零常数.当r1=r2时，上式为自相关函数，当r1≠r2时，为互相关函数.

对于任意τ1，τ2，0≤r1≠r2≤M-1（4） 式成立，则正交互补，且互为周期互补伴集.称集合A′

为一个二维周期互补阵列偶集，记为PCAPS-（M，P，（N1，N2））.

定义5[13]设，0≤r≤M-1}为M个阵列偶集构成的阵列偶集合，每个阵列偶集Ar′= {A′rt，0≤t≤P-1}包含P个N1×N2阶二维子阵列偶.其中，任意2个阵列偶集.若满足下述条件

则称A′为零相关区周期互补阵列偶集，记为ZPCAPS（M，P（N1，N2），（Z1，Z2）），其零相关区矩形面积为Z1×Z2，M为集合中零相关区周期互补阵列偶集的数目，P为每个阵列偶集中子阵列偶的数目.

定义6[8]给定N1×N2阶阵列偶（X，Y）如下所示

其中：将X，Y的行向量Xi=（xi，0，…，xi，N2-1），Yi=（yi，0，…，yi，N2-1），0≤i≤N1-1当作序列.设移位序列为eq=（eq，0，eq，）1，q=0，1，…，Q-1.根据交织运算，对阵列偶（X，Y） 的行向量Xi，Yi分别进行交织操作，可以得到N1×2N2阶交织阵列偶（A，B）

引理1[15]设有基序列偶（x，y） 和移位序列ei=（ei，0，ei，1），ej=（ej，0，ej，1），（a，b）与（c，d）是基于（x，y）和ei，ej的交织序列偶，表示为

取τ=2τ1+τ2，则（a，b）和（c，d）的周期互相关函数为

定义7 文献 [10]中提出了将二元序列映射为四元序列的方法.不同于已有方法，本文提出了一种新的映射关系，可由已知二元序列映射为新的四元序列.映射关系如

φ1（0，0）=1，φ1（0，1）=2，φ1（1，1）=3，φ1（1，0）=0，φ2（0，0）=2，φ2（0，1）=1，φ2（1，1）=0，φ2（1，0）=3

具体构造公式如式（13），式（14）所示.（其中，为了避免符号混淆将j用ξ来代替）

其中ξ2=-1.利用此映射关系，本文设计了二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法.

2 二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造

本文设计了新的移位序列，通过移位序列和交织方法，可由已知二维二元周期互补阵列偶集构造二维二元零相关区周期互补阵列偶集.下面首先给出移位序列的构造方法.

2.1 移位序列的选择

给定正整数Z2（2≤Z2

情况1：Z2为偶数，取

则eq（0≤q

当Z2整除N2-1时，

当Z2不能整除N2-1时，

其中：x，y为非负整数，当N2为偶数时满足：0≤x+y≤N2-1-QZ2；当N2为奇数时满足：0≤x+y≤N2-1-QZ2；且

情况2：Z2为奇数，取

则eq（0≤q≤Q-1）构造如

当Z2整除N2时，

其中：x，y为非负整数，0≤x+y≤Z2-2.

当Z2不能整除N2时，

其中：x，y为非负整数，0≤x+y≤N2-QZ2，且.移位序列中的元素都是模N2运算.

定理1 移位序列集E中的移位序列具有如下性质

其中：d0=eq1，0-eq2，0；d1=eq1，1-eq2，1；d2=eq1，0-eq2，1；d3=eq1，1-eq2，0-1.

证明：下面仅对当Z2为偶数且Z2整除N2-1时的情况进行证明，其他情况类似.假设0≤q1

定理2 移位序列集合E中的移位序列具有如下性质

证明：下面仅对Z2当为偶数且Z2整除N2-1时的情况进行证明，其他情况类似.假设0≤q1

2.2 二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造

根据上述所设计的新型移位序列，可以生成具有灵活零相关区大小的二元零相关区周期互补阵列偶集，进而生成四元零相关区周期互补阵列偶集，具体步骤如下.

步骤2 给定零相关区的长度Z2，确定移位序列集：E={e0，e1，…，eQ-1}，eq={eq，0，eq，1}，q=0，1，…，Q-1.

步骤3[16]通过交织法生成阵列偶集H={（Ar，Br），0≤r≤M-1}如下所示

步骤4 生成阵列偶集W：

W=（Gr，Kr）=（A0，B0）∪…∪（AM-1，BM-1）∪（C0，D0）∪…∪（CM-1，DM-1）

定理3 W为零相关区周期互补阵列偶集，表示为ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

证明：

情况1：假设（A（r，q1），B（r，q1）），（A（r，q2），B（r，q2））∈（Ar，Br），0≤r≤M-1.令τ2=2τ2′+τ2″，则其互相关函数为

情况2：假设（C（r，q1），D（r，q1）），（C（r，q2），D（r，q2））∈（Cr，Dr），令τ2=2τ2′+τ2″.则（A（r，q1），B（r，q1））与（C（r，q2），D（r，q2））的互相关函数为

1）当τ2″=0时

2）当τ2″≠0时，若0≤|τ1|≤N1-1,，则

情况3：假设

（A（r1，q1），B（r1，q1）），（C（r1，q1），D（r1，q1））∈（Gr1，Kr1），（A（r2，q2），B（r2，q2）），（C（r2，q2），D（r2，q2））∈（Gr2，Kr2），0≤r1≠r2≤M-1,令τ2=2τ2′+τ2″，则（A（r1，q1），B（r1，q1））与（A（r2，q2），B（r2，q2））的互相关函数为

1）当τ2″=0时

综上所述，W为二元零相关区周期互补阵列偶集，表示为ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

其中：0≤r≤M-1；0≤q≤Q-1；t=0，1，…，P-1；；j=0，1，…，2N2-1.进而可以得到阵列偶集R.

定理4 R为四元零相关区周期互补阵列偶集，表示为ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

证明：

选取（U（r，q），V（r，q））进行证明，其中0≤r≤M-1，0≤q≤Q-1，则其相关函数为

因此，R为四元零相关区周期互补阵列偶集.

3 性能比较

将本文构造的二维四元ZPCAPS与文献 [10，16]中生成的二维四元ZPCAS进行参数比较，结果如表1所示.

文献 [16]采用移位、交织的方法，基于二元PCAS构造了一类二元ZPCAS，本文采用了与其不同的新型移位序列，基于二元PCAPS构造了一类二元ZPCAPS.文献 [10]采用逆Gray映射、移位运算进行了二元PCAS到四元ZPCAS的构造，本文则采用了一种新型的逆Gray映射，进行二元ZPCAPS到四元ZPCAPS的构造，阵列偶集的数目是文献 [10]的2倍.

表1 参数比较Tab.1 Parameter comparison

4 构造实例

以下为生成二维四元ZPCAPS具体实例.

已知二维二元周期互补阵列偶集PCAPS-（2，2，（4，4））如下所示.其中

设Z2=3，x=0，y=0，则移位序列为e=（0，3），经过移位与交织运算可生成二维二元ZPCAPS.

由于篇幅所限，只给出部分结果，如下所示.

经验证得知，阵列偶集W为二维二元ZPCAPS（4，2，（4，8），（4，3））.

由于篇幅所限，只给出部分结果，如下所示.

经验证得知，阵列偶集R为四元ZPCAPS（4，2，（4，8），（4，3））.

5 结束语

将周期互补序列偶的思想应用到阵列集的构造中，给出了一种二维四元零相关区周期互补阵列偶集的构造方法.在二维周期互补阵列偶集的基础上，通过选择合适的移位序列通过交织生成二维二元零相关区周期互补阵列偶集.再利用一种新的逆Gray映射，生成二维四元零相关区周期互补阵列偶集，各个子集之间具有良好的相关性.本文的构造方法根据零相关区长度的取值不同，能够获得大量新的构造结果，可以为实际工程提供更多的信号选择.

[1]Tang X H，Fan P Z，Li D B，et al.Binary array set with zero correlation zone[J].Electronics Letters，2001，37（13）：841-842.

[2]Cheng Chi，Jiang Tao，Liu Yinging.A novel class of 2-D binary sequences with zero correlation zone[J].IEEE Signal Processing Letters，2010，17（3）：301-304.

[3]Chen X，Xu C.New method for constructing array sets with zero-correlation zone[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2013，24（6）：925-930.

[4]HAYASHI T，OKAWA S.Binary array set having a cross-shaped zero-correlation zone[J].IEEE Signal Processing Letters，2004，11（4）：423-426.

[5]刘永山，王德臣，贾彦国，等.准最佳三进阵列偶[J].计算机工程与应用，2011，47（12）：113-116.

[6]李玉博，许成谦，李刚，等.四元二维零相关区阵列集构造法[J].电子学报，2012，40（10）：2047-2051.

[7] 柯品惠，张胜元.零相关区阵列偶集的递归构造研究[J].电子与信息学报，2011，33（5）：1257-1260.

[8]高军萍，李琦，戴居丰，等.ZCZ阵列偶及其构造方法研究[J].通信学报，2008，29（9）：62-67.

[9]Zeng F，Zeng X，Zhang Z，et al.New construction method for quaternary aperiodic，periodic，and Z-complementary sequence sets[J].Journal of Communications and Networks，2012，12（3）：230-236.

[10]刘凯，俞赛，李玉博.二维四元零相关区周期互补阵列集构造法[J].系统工程与电子技术，2013，35（5）：924-929.

[11]李琦，李鼎，高军萍，等.零相关区屏蔽四元周期互补序列偶集设计研究[J].电子与信息学报，2016，38（2）：318-324.

[12]Ke P，Zhou Z.A generic construction of Z-Periodic complementary sequence sets with flexible flock size and zero correlation zone length[J].IEEE Signal Processing Letters，2015，22（9）：1462-1466.

[13]李刚，许成谦，刘凯，等.二维零相关区周期互补序列偶及其理论界的研究[J].燕山大学学报，2011，35（1）：81-86.

[14]李玉博，许成谦，荆楠，等.具有灵活子序列数目的零相关区周期互补序列集构造法[J].通信学报，2015，36（2）：204-207.

[15]Zhou Z，Tang X，Gong G.A new class of sequences with zero or low correlation zone based on interleaving technique[J].IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（9）：4267-4273.

[16]Li Yubo，Xu Chengqian.Construction of two-dimensional periodic complementary array set with zero-correlation zone[C]//.Proceedings of the Fifth International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications，Guilin，2011：104-107.

[责任编辑 代俊秋]

Construction method of two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs set with zero correlation zone

LI Qi，DONG Meng，GAO Junping
（School of Electronics and Information Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Based on two-dimensional binary periodic complementary sequence pairs sets,the two-dimensional binary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone is constructed by the new interleaving technique and shift sequence,then use the new inverse Gray mapping to construct the two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone.The resutts show that there are good correlation properties between the subsets of array paivs sets.In this method,the concept of periodic complementary sequence pairs is introduced into the array structure and a method is used to construct,the two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone.According to the different values of zero correlation zone length,a large number of new structural results can be obtained,which can provide more signal selection for practical engineering.

periodic complementary array pairs sets;zero correlation zone;interleaving technique;shift sequence；inverse Gray mapping

TN 911.2

A

1007-2373（2017）01-0008-10

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.01.002

2016-12-27

河北省自然科学基金（F2012202116）

李琦（1974-），男，教授，博士.