关于光学性质在数学中应用的探究

张博文

摘要：在长期的各科目学习中，笔者发现各个基础学科存在很多交叉之处，共同所在。本文重点探究物理中的光学性质在数学中的应用。

关键词：光学性质；数学；应用

一、光的折射定律在导数题中的应用。

1.1对折射定律的的说明与证明

折射定律：如图当光从传播速度为 的介质 中射入传播速度为 的介质 中时，有

证明如下：假设光从介质 入射到介质 ，在两个介质的交界面上取一条直线 为轴，法线为 轴，再入射光线上取一点 ，光线与两介质交界面交点为 ，在折射光线上任取一点由于光总是选择耗时最短的路径 。

由于光总是选择耗时最短的路径。

全程时间：

若求 最小，则其导数为0：

计算化简后可得：

1.2折射定律的的应用：

例一、一艘渔艇停在距岸 处，现派人送信给距渔艇 外渔站，如果送信人步行每小时 ，船速每小时 ，问应在何处登岸可使时间最短。

常规解法：

设在距渔站 处登岸

令

令

此时 在 之前递减，在 之后递增。

最 的最小值

应在距渔站 处登岸

光学解法：

假设送信人是光，总时延最短时间路径传播，且光在水中介质速度为 ，在岸上速度为 ，以岸边为介质分隔线，以送信人上岸处为折射点，

设 ，如图

光的入射角为 ，折射角为

由折射原理有：

又

答：距渔站 处最好。

二、光的反射定律在圆锥曲线中的应用

2.1椭圆中的光学性质的说明与证明：

从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一個焦点。

证明如下：

要证明 的反射光为 只需证过 的法线 为 的角平分线即可。

设 ，

易得到 为 ，令

即：

为 角平分线得证

2.2椭圆中的光学性质的应用

例二、已知椭圆 过椭圆外一点 做椭圆的两条加线，并切于点 。 分别为椭圆的左右焦点，连接 ，求证： .

证明如下：

将 以对称轴对称，

作出线段

又 为两焦点，假设 为一条从 发出的光线，则 为反射光线

又 三点共线，且

三点共线

且

同理可做 关于 的对称线段，并得到 三点共线，且 ，

有 ，

即 ，得证。

本题若常规思考，则会有大量的斜率计算，而使用椭圆的光学性质，则可以规避计算，利用角相等等性质结合全等；让一道圆锥曲线题毫无计算，只做角与线断的变形。可见光学性质有时给我们带来的方便。

例3，已知 是椭圆 上一动点 处的切线，过 的左焦点 作 的垂线，求垂足 的轨迹方程。

解：作出关于直线的对称线段 ；

在 右侧上取一点

将折线段 看出是 点出发的一条光线经过椭圆上一点 反射后的路径

又

三点共线，且 ，

三点共线

为 的中点 又 ，

即 为 的中点

为三角形 的中位线

，即 点轨道是以 为圆心，以 为半径的圆。

同样，此题若常规使用参数方程求解，将会面临大量直线联立求解，运算相当繁琐。而应用椭圆光学性质会简单许多，再次凭借少量的线段几何变换得出答案。

在数学中运用物理知识给我们带来了诸多方便，不仅仅只是文本提到的利用光学性质规避复杂运算，还有一些诸如糖水不等式的例子。在诸多基础学科中，笔者坚信找到他们内在的联系当让问题大大简化，这些都是对知识本质的追求。