对瞬心的动量矩定理的两种形式

项秉坷

摘要：关于作平面平行运动的刚体相对于过质心并且与固定平面平行的薄片上的动量矩定理，大多数教材均已讨论了其对固定点和对质心成立。本文给出了对瞬心的动量矩定理的两种形式，并分别得出了刚体对瞬心的转动定理及其适用条件。

关键词：刚体；动量矩定理；本体极迹

1.引言

在刚体平面平行运动的动力学中，为了结合质心运动定理，通常选择质心作为基点，得到质心的平动和绕质心转动的方程。但是，选取瞬心作为基点来分析刚体上各点的速度非常方便，并且有时以瞬心作为基点的动力学方程也更加简洁。

2.对瞬心的动量矩定理的推导

在作平面平行运动的刚体上取一过质心C且与固定平面平行的薄片，为其瞬心，取固定系O-XY如图2-1所示。

图2-1

刚体对瞬心的动量矩为

（1）

又因为

（2）

代入（1）式，可得

（3）

其中，刚体对固定点的动量矩，刚体的总动量。随着时间变化，我们始终将取为瞬心，（3）式始终成立，等式两边对时间求导，并代入刚体相对于固定点的动量矩定理中，得

（4）

其中 ，，故（4）式可化为

（5）

（5）式即为刚体相对于瞬心的动量矩定理。根据，，可得

（6）

又因为为瞬心，，（6）式可化为，根据双重矢积公式展开得

（7）

因为垂直于，故

（8）

即当质心与瞬心的距离保持不变时，对瞬心的动量矩定理与对定点的动量矩定理有相同形式，此时

（9）

又

（10）

两边对时间求导：

（11）

式（11）即为当瞬心到质心距离保持不变时，刚体对瞬心的转动定理。

3. 对瞬心的动量矩定理的另一种形式

另外，我们知道刚体对任意点的动量矩定理还有如下形式：

（12）

将该任意点取在瞬心即成为刚体对瞬心的动量矩定理，的充要条件为。即与在一条直线上。

而我们知道，薄片的运动实际上是本体极迹B在空间极迹S上的无滑滚动，如图3-2所示。

图3-2

在任一瞬时，此两轨迹的公切点即为该时刻的瞬心。而此时的方向应与这条公切线垂直。又因为与在一条直线上，说明质心C在本体极迹B过的法线上。我们知道本体极迹是瞬心在薄片上所描绘的轨迹，现本体极迹的所有法线都经过质心C，这说明曲线B是一段圆弧，质心C即是圆弧的圆心，也就是质心到瞬心的距离始终不变。下面证明若平面上一条连续曲线的所有法线都经过同一点，则这条曲线是一段圆弧：

设曲线方程为，所有法线过定点，则对于曲线上任意的x、y，下式恒成立。

（13）

即

（14）

对于这个全微分方程，，故其可以写成，

采用凑微分法，可得

（15）

即得到曲线的轨迹方程为，取C为正数这是一个圆的方程，则说明成立的充要条件是质心到瞬心的距离保持不变。

参考文献

[1]周衍柏.理论力学教程（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2009

[2]呂茂烈.对不同矩心的动量矩定理的辨异[J].力学与实践，1990，3