以阿波罗尼斯圆为背景的考题研究与欣赏

周建

【摘要】 近年来，高考考题中对于书本知识的考查愈加重视，来源于书本，但又高于书本的题型层出不穷，一来符合课改的思想，二来也是回归书本，回归数学本质的需要，同时，也是考查学生发散性思维和扎实基本功的重要手段，本文从一个高考题入手，与读者探讨阿波罗尼斯圆在高考模考中的应用与变化.

【关键词】 高考；阿波罗尼斯圆；定值

真题再现 （2008年江苏，13）若AB=2，AC= 2 BC，则S△ABC的最大值 .

解法一 利用余弦定理和函数的最值问题处理.

设AC= 2 BC= 2 x.

cosC= 3x2-4 2 2 x2 sinC= -x4+24x2-16 2 2 x2 .

S= 1 2 absinC= -x4+24x2-16 4 ，

∴当x2=12时，Smax=2 2 .

很多考生在解答时，基本上用了此解法，虽入手简单，但计算量比较大，得分率不高.笔者在研究后发现，此题为课本习题的一个演化和提升.

教材原题 （人教A版必修2第124页B组习题3）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为 1 2 ，求点M的轨迹，并求出它的方程.

易得M的轨迹为以（1，0）为圆心，1为半径的圆.而在教材第144页B组练习中，编写者又将此结论进一步推广到比值为m的讨论，引导学生们发现，当m≠1时，动点轨迹即为圆.

结论 平面内一动点到两定点的距离之比为非1的常数，动点的轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆.

证明 若两定点之间距离为2a，距离之比为m，（m>0，m≠1），以两定点所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立坐标系，可得方程为 x- m2+1 m2-1 ·a 2+y2= m m2-1 ·2a 2.

从而引出解法二：

解法二 以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系.A（-1，0），B（1，0），设C（x，y）.

由题意可得 （x+1）2+y2 = 2 （x-1）2+y2 ，

化简可得（x-3）2+y2=8，∴Smax=2 2 .

虽然书本未有直接给出阿波罗尼斯圆的定义，但是这个重要结论却备受高考命题者的青睐，乐此不疲，多次出现在各省高考题、各地模拟题中，下面笔者就简单加以举例说明.

一、围绕定义，直接考查

例1 （2006年四川）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为（ ）

A.π

B.4π

C.8π

D.9π

解答 若使用阿波罗尼斯圆定义加以研究，即可知P的轨迹为圆，计算可知圆方程为（x-2）2+y2=4，故答案为B.

例2 （2008年四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|= 2 |AF|，则△AFK的面积为（ ）

A.4 B.8 C.16 D.32

解答 如图，由条件可知|KF|=4为定值，且|AK|= 2 |AF|，故由阿波罗尼斯圆的定义可知，A为圆方程和抛物线的交点.圆方程为（x-6）2+y2=32，

故 （x-6）2+y2=32，y2=8x， ∴A（2，4），S= 1 2 ×4×4=8.

二、隐含条件，学会挖掘

例3 梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α， AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，点P的轨迹为（ ）

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

解答 因AB∥CD，且AB⊥平面α，所以CD⊥平面α，可得∠ABP=∠DCP=90°，又因∠APB=∠DPC，故△APB与△DPC相似，得 BP PC = AB DC =2，故由阿波罗尼斯圆定义可知，P的轨迹为圆，答案选B.

点评 此题以立体几何为背景，考查解析几何问题，将阿波罗尼斯圆的定比关系隐含在三角形相似中，比较隐蔽，对学生考查要求较高.

例4 （2011年江西模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，BD是腰AC的中线，且BD= 3 ，则△ABC面积的最大值为 .

解答 建立如右图坐标系，從条件可知， AB AD =2且BD= 3 ，所以A的轨迹为圆，解法与文章开始的四川高考题一致.

点评 此题的关键在于应用合理的建系，发现 AB AD =2为定值，从而加快解题速度，提高解题正确率.

三、定义逆用，灵活应用

例5 （2012年辽宁省五校协作题高二竞赛试题）已知圆C：x2+y2=9，点A（-5，0），若在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于A），满足：对于圆C上任一点P，都有 |PB| |PA| 为一常数，试求所有满足条件的定点B的坐标.

解答 由题意可知，P的轨迹即为阿波罗尼斯圆，所以可以对照阿波罗尼斯圆的推导思路进行解答.

例6 （2012年高中数学联赛福建预赛高一试题）已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=m，点A（4，6），B（s，t），若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ（λ>1），求m的值.

解答 此题也是阿波罗尼斯圆的定义和性质的直接利用，读者采取阿波罗尼斯圆的推导思路同样可以方便地加以解决.

可见，阿波罗尼斯圆虽未在课本中以正式定义给出，但在课本中以习题的形式不止一次出现，同样也不止一次在高考模拟考中以多种形式不断出现，其地位可见一斑，但只要了解其定义和性质，解答这些题就变得轻松了.