数学解题教学中对于逐步逼近思想的应用分析

杨毅

【摘要】 在数学教学中，逐步逼近思想有着非常重要的作用，将这种思想渗透到数学解题中，能够将烦琐复杂的问题简单化，以便快速解出答案.本文简单介绍了逐步逼近法这一概念，并结合实例，从推导数学公式、数列教学、几何教学、函数教学等方面阐述了逐步逼近思想的渗透，以期培养学生的发散思维，并为学生提供数学问题解答的便捷途径.

【关键词】 数学解题教学；逐步逼近思想；应用

在数学解题中，逐步逼近思想是一种非常常见的解题思路，当没有现成公式或者现成公式比较复杂的时候，可以使用逐步逼近法.逐步逼近法指的是通过适当的方法，一步一步地逼近所要求的问题的解的方法，这种方法将符合题目的范围进行逐步的缩小，把可能的答案代入题目中，将结果和题目条件相对比，排除误差，进而得出正确答案.

一、逐步逼近法简介

逐步逼近思想是重要的数学思想，高中学习逐步逼近思想，一方面，能锻炼学生的思维能力，提高解题水平，另一方面，为高等数学的学习做铺垫.逐步逼近法具有这样的特点：在确定了目标后，沿着目标的方向进行不断的调整和探索，慢慢逼近目标，直到最终实现目标，使得问题得以解决.在探索科学理论的过程中，逐步逼近法常被用于构建科学假说.

逐步逼近法是数学教学中的重要思想，在中学数学中涉及的范围非常广，有利于将问题简化，所以，在中学数学教学中应当通过实例向学生渗透逐步逼近思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大的帮助，也会利于培养学生的发散思维.

二、在数学教学中渗透逐步逼近思想

（一）在推导数学公式的教学过程中渗透逐步逼近思想

此处以推导圆的面积公式和圆柱体积公式为例.在推导圆的面积公式过程中，可以将圆形转变为之前学过的图形.第一步先把圆形逐步分成2个、4个、8个、16个……以此类推，将圆形分割成一样大小的扇形，然后，将其拼接成接近长方形的形状，利用课件进行演示，让学生猜想一下一直分割、拼接下去，将会产生怎样的情形？由于分割所得扇形的弧长会越来越短、越来越直，最终拼接所得图形就会成为真正的长方形.

在推导圆柱体积公式的过程中，将圆柱地面进行逐步的分割，根据上面所述，其圆形底面即可拼接成长方形结构，那么，该圆柱体就转变成了长方体结构，沿着圆柱体高的方向将其逐步分割成无限个长方体，分割所得的每一长方体体积均是“底面积×高”，再结合乘法分配定律，这些被分割的小长方体的体积总和即为“所有小长方体底面积的综合×高”，所以该圆柱体的体积即为“底面积×高”.

上述的圆的面积公式、圆柱体积公式的推导过程均是通过“化圆为方”“化曲为直”的逐步逼近思想进行的.随着分割的逐步进行，拼接的图形会呈现出一定的变化取值，随着分割的逐步逼近，猜想拼接图形的最终形状.这种逐步逼近思想的渗透，既能促进学生深刻理解圆柱体积、圆的面积公式，在曲直、圆方的不断变化中，学生也慢慢感受到了逐步逼近的思想.

（二）在数列教学中渗透逐步逼近思想

与高中课本中的公式相比，这就比较复杂了，需要对其进行重新思考，让分类的各项组合成一个统一的整体.对一个无穷数列来说，它是一种极限形式，因此，在与数列相关的问题中有很多题目会涉及逐步逼近思想，对逐步逼近思想进行灵活的运用可以使问题变得更加简单，进而减少计算消耗的时间以及计算量，实现优化解题的目的.

此处以某一例题為例，简单介绍逐步逼近思想的应用.例题：在数列{an}中，a1=1，且对任意自然数n总有an+1= an an-2 ，那么是否存在实数a，b，可以使得an=a-b - 2 3 n对于任意自然数n恒成立？如果存在，请给出公式并证明；如果不存在，请说明理由.解题分析过程：在数列问题的研究中，逐步逼近思想是一个比较有效的方法，在高中教材中，给出的等比数列的求和公式为

由上式可以看出，常数列是被分裂开来的，而通过逐步逼近思想，能够将两者合成一个整体.

当q≠1时，研究q→1时，Sn的极限.

这就表明，q≠1时Sn的极限就是q=1时的Sn，如此一来，就可以用Sn=lim q→1 a1（1-qn） 1-q 这一个公式来表示了.

在上述例题中，可以假设存在实数a，b使得an=a-b - 2 3 n对于任意自然数n恒成立，那么lim x→∞ an=a；将an+1= an an-2 两边同时取极限，逐步逼近无限大处，则可得a= a a-2 ，即可解得a=3或0.对此进行验证，如果a=0，数列{an}则应当是以1作为首项，以- 2 3 为公比的等比数列，是不能让任意自然数n满足an+1= an an-2 恒成立的；如果a=3，将a1=1，代入an=a-b - 2 3 n，解得b=-3，则an=3+3· - 2 3 n，经验证得到，同样不满足对于任意自然数n都an+1= an an-2 恒成立.由此可见，不存在满足条件的a，b.

（三）在几何教学中渗透逐步逼近思想

在数学教学中，几何方面很多知识的教学都很棘手，但是将逐步逼近思想渗透其中，可以为解题省去大量的时间，解题的思路也会变得更加简单.

此处以某一例题为例，简单介绍逐步逼近思想的应用.例题：过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与QF的长分别是p，q，则 1 p + 1 q 等于多少？解题分析过程：可以将该题归入不变性问题上，一般的解题方法是求解a，q，p三者之间的关系，这种方法不仅过程非常烦琐，并且比较复杂.但是，如果可以充分认识到变、

不变之间的辩证关系，通过变化、运动的逐步逼近思想，可以将该问题简单化：将直线PQ绕F点，沿着顺时针的方向进行旋转，使其与y轴重合，P点与O点就重合了，将P点逐步逼近到无限远处，它不再是抛物线的弦，而是弦的极限形式，由于QF= p 2 =OF= 1 4a ，PF=q→+∞，因此， 1 p + 1 q →4a.这种解题方式充分体现出思维的敏捷性与灵活性.

（四）在函数教学中渗透逐步逼近思想

在数学教学中，函数教学是非常重要的一部分，尤其是中学数学中，函数主要表达的是两个变量间的关系.在初中数学中，函数部分的教学主要包括一次或二次函数、常值函数、正、反比例函数等等，通过函数方程来表达变量间的关系，也可以通过图形来表达.在教学中，可以将函数和圆形、四边形、三角形等几何图形以及不等式、方程等代数知识相结合，还可以与实际生活密切联系.因此，在整个初中数学教学中，函数部分是非常重要的内容之一.

数学研究一般包括单个集合、集合间关系两大类，而函数是集合间关系的重要表现形式.函数能够表达变量间的数量关系，也可以说是一种通过建模方法来研究客观世界数量关系的方式.因此，函数教学非常重要.事实上，即便是大学之后，依然会研究泛函分析、复变函数以及实变函数等等.因此，应当在函数教学中渗透逐步逼近思想，并利用这种思想来解决复杂的函数问题.

此处以研究y=x+ 1 x 这一函数的图像为例.该函数的定义域是为{x|x≠0}，且该函数是奇函数，所以，先画出x>0情况下该函数的图像，进行如下分析：

（1）x>0时，y=x+ 1 x ≥2，在x=1的情况下，ymin=2；（2）x→0+时，此时y→+∞，因此，x=0是该函数的一条渐近线；（3）x→+∞时， 1 x →0，y→x，因此，y=x也是该函数的一条渐近线.由上述分析可以得到该函数的图像，如图2.

此外，逐步逼近法还可以用来证明方程解的存在唯一性定理，并被广泛地用于分析许多其他问题，将各种应用中所使用的逐步逼近方法的本质加以抽象概括，便可以得到各种形式的“不动点定理”.

此外，在数学教学的过程中，可以渗透逐步逼近思想的地方有很多，例如，在空间集合体中，棱锥、棱台、棱柱是能够相互转变的，其中，棱柱上底逐步缩小即可转变为棱锥形状；与之类似，圆锥、圆台、圆柱间也是能够相互转变的，其中圆柱上底逐步缩小即可转变为圆锥形状.上述各种集合体的转化就体现出了逐步逼近的思想.

三、结 语

逐步逼近思想的精髓就在于不断地猜测、尝试、调整，因此，应当积极引导学生利用技巧去猜测、去尝试.逐步逼近法的应用可以看出很多简单的事情中蕴涵着深远的意义.所以，在數学教学过程中，在确保教学成果的同时，可适当鼓励学生采用“试凑法”，培养学生的思维方式，使其巧妙地应用逐步逼近法这一数学思想来解决某些实际的问题.