高观点下的二阶线性递归数列通项公式求法初探

冶亚茹

【摘要】 递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一.根据递推公式求数列的通项公式是高考考查的一个重点内容，而二阶线性递归数列求通项公式更是一个难点.本文从线性代数和数学分析的角度审视这个问题，分别用特征方程法和母函数方法对此问题进行求解.

【关键词】 二阶线性递归数列；特征方程法；母函数方法

一、二阶线性递归数列

定义1 若数列{an}满足递归方程

an+2=p1an+1+p2an，n∈ N +， （1）

（其中p1，p2是常數，p2≠0），则称{an}为二阶线性（齐次）递归数列.当已知它的第一项a1与第二项a2时，可以求出它的通项公式.

二、特征方程法

定义2 记x2=p1x+p2为（1）式的特征方程，它的根称为特征值.

对于形如（1）式的递归数列，用特征方程法求通项公式步骤如下：

①写出特征方程并求出对应方程的根；

②若对应方程有两个不同实根或共轭复根x1，x2，则{an}通项公式为an=c1xn1+c2xn2，其中c1，c2由初始值a0，a1来唯一确定，即由方程组

c1+c2=a0，c1x1+c2x2=a1 确定；

③当特征方程有二重根x时，{an}通项公式为an=（c1+nc2）xn，其中c1，c2同样由初始值a1，a2来唯一确定.

三、母函数方法

定义3 任给一个无穷数列{an}，相应地构造一个形式幂级数

f（x）=∑∞n=0anxn， （2）

则称f（x）为数列{an}的母函数（这里把数列的母函数形式上看作是幂级数，也就是我们的讨论不涉及幂级数的收敛性）.

对于形如（1）式的递归数列，用母函数法求通项公式步骤如下：

①构造数列{an}的母函数f（x）；

②分别用-p1x，-p2x2乘母函数两端得到如下两式：

将（2）（3）（4）合并整理，得到一个关于f（x）的分式方程；

③将所得分式方程重新展开表示为形式幂级数，再整理变形，其中xn的系数便是所要求的数列通项an.

四、实例应用

在中学数学里，二阶线性递归数列的通项公式主要是通过待定系数法来构造一个新的数列，运算过程复杂且需要一定的技巧性才能最终求得通项公式.而特征方程法和母函数方法使得此问题的求解程序化.实质上，母函数在处理数列、排列、组合、概率等问题中也有着广泛的应用，不仅如此，其他高等数学类课程，如几何学、近世代数、概率统计等对于中学数学教学工作所发挥的作用也是十分明显的.因此，在以后的教学工作中，应关注高等数学与中学数学的“下靠”与“上联”问题，居“高等数学之高”去临“中学数学之下”，切实提高教学研究水平.

【参考文献】

[1]李三平.高观点下的中学数学[M].西安：陕西师范大学出版社，2013.

[2]胡炳生，吴俊，王佩瑾，孙国汉.现代数学观下的中学数学[M].北京：高等教育出版社，1999.