数与形，结合与深入

岑茜　高明

【摘要】 如今，数形结合的思想有着重要的地位.这种思想的应用非常广泛，它是数学解题中时常用到的一种思想方法，这种思想可以使某些抽象难理解的数学问题直观化、生动化，能够将抽象思维转化为形象具体的思维，有助于我们把握理解数学问题的本质.

【关键词】 数形结合；解题应用

数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考查，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既对立又统一，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系常常又可以通过几何图形做出直观的反映.

一、数形结合思想在不等式中的应用

数形结合在不等式问题上能起到鬼斧神工的效果，当不等式大于零时，代表函数图像在x轴上方；当不等式小于零时，代表函数图像在x轴下方.所以，在解不等式时，我们应先把函数图像画出来，再通过观察函数图像得到不等式的解集，比如下面的例子.

例1 解关于x的不等式|x2+2x|< 3 2 .

分析 像这种含有绝对值的不等式，首先，我们想到的是把绝对值符号去掉，而这里如果去掉绝对值符号，我们需要分类讨论，即讨论x2+2x的正负；我们也可以利用含绝对值符号的不等式性质求解，即若|f（x）|a，则f（x）>a或f（x）<-a（其中a>0）.除这两种方法之外，我们还可以用数形结合思想来考虑此题，即画出函数图像，再观察两个函数图像的高低.

解 设y1=|x2+2x|，y2= 3 2 ，在直角坐标系中做出这两个函数的图像如图1所示，则原不等式的解集即为满足函数y1=|x2+2x|的图像在函数y2= 3 2 图像下方的x的集合，即在图中A、B两点之间的函数图像所对应的x的取值范围，又因为方程|x2+2x|= 3 2 的解为x=± 2- 10 2 ，所以原不等式的解集为 x -2- 10 2

图1

注：对于此题，我们运用数形结合的方法来解答，相对于其他方法来说没有体现出很大的优越性，但是，如果不等式再加大難度的话，前面两种方法就很难解决了，而数形结合在不等式中不管题的难易程度多大，它都是非常适用的.

二、数形结合思想在函数中的应用

函数的图像和性质是利用数形结合思想解决问题的重要载体，在解题中，我们应做到看见解析式便可想到它所对应的函数图像，并能将函数图像画出来，再由函数图像的性质找出它所对应的代数式.养成这样的好习惯，便可随时记住数形结合思想，这对我们解题有很大的帮助，比如下面例子.

例2 求函数y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值.

分析 此题函数解析式是含有正余弦函数的分式形式，若想直接求得其最小值，很困难.我们观察它的形式，可以看成是直线的斜率公式，由此，我们就将这一难题转化成我们熟悉的直线斜率问题了.

图2

解 如图2，则 cosθ- 3 sinθ+1 可以看成过点A（sinθ，cosθ）与点B（-1， 3 ）的直线的斜率.点A是圆x2+y2=1上的动点，点B为定点.则有BO=2，AO=DO=1，则∠DBO=∠OBA=30°，

所以，圆O的切线BC的倾斜角为150°.

所以函数y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值为tan150°=- 3 .

注：此题赋予函数几何意义，则可以根据几何图形求解函数的最值，若直接求解是不可行的，所以，数形结合在此题中的意义是非常重大的.

三、运用数形结合思想分析解决问题的局限性

运用数形结合思想解题虽然很方便，很直观，可以很快找到解题思路，最重要的是可以避免一些计算和推理，简化解题过程，但我们知道世间万物都有利有弊，当然数形结合思想也不例外，虽然运用它解题有很多长处，但它的使用也是有局限的.所谓数形结合就是“数”与“形”相结合，这里的“数”当然精准无比，但“形”是我们用手画的，难免会出现误差，所以，对于一些函数图像不易画出来的题，我们最好避免运用数形结合思想的方法解决.

以上对数形结合思想在解题当中的应用做了一些分析，这种思想不仅仅在以上三种模型中得以应用，还在复数、立体几何等等模块中广泛出现，巧妙应用数形结合思想，将题目化抽象为具体，效果将事半功倍.在高中阶段，这种思想方法更是重要，在函数当中，数形结合思想的应用尤为广泛，利用二次函数图像解二次方程、二次不等式，三者之间有机的结合才利于这类问题的解决；有关指数函数与对数函数单调性的应用、方程和不等式问题等等都需要结合两类函数的图像来考查知识点，会发现数形结合在中学阶段有着不可替代的地位，要求当代的中学生应当掌握这种思想方法，要求当代的教师必须有着扎实的数学功底.