关于偏微分线性算子教学的若干探讨

2017-03-29禹晓红

数学学习与研究 2017年5期

关键词：应用教学

禹晓红

【摘要】偏微分线性算子是高等数学中的一个非常重要的内容，本文主要对偏微分线性算子及其数学表达方式的教学进行了详细的介绍与阐述，尤其是对其在相关领域（如工程技术及物理学）中的实际应用的教法进行了探讨.

【关键词】线性算子；偏微分；教学；应用

偏微分线性算子作为偏微分领域更为深入的算法，在诸多领域均可被应用，如，工程技术以及物理学之中的拉普拉斯（Laplace）算子中就有关于偏微分线性算子的应用.本文主要采用推理、演算的方法对偏微分线性算子教学进行着重阐述与研究.

一、线性算子的定义

线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换.同时，具有以下定义：线性空间V上的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A（α+β）=A（α）+A（β），

A（kα）=kA（α）.

线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射.例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换.对线性变换的讨论可借助矩阵实现.σ关于不同基的矩阵是相似的.Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念.

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换.正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ（a），β〉= 〈a，σ（β）〉.

在数学中，线性映射（也叫作线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算.术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射（自同态）.在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射.

线性变换（算子）示意图

二、向量及其运算法则

在数学中，将向量做如下定义，即：不仅有大小，而且还有方向的量，若仅有大小而无方向，在数学中则称为“标量”.根据向量及标量两个定义，可将其推广至函数运算之中，于是演变成为“标量函数”与“向量函数”，前者主要指的是纯函数值，后者则为取向量值的函数.对于一个3D直角坐标系而言，习惯上采用 i，j，k 分别表示x轴、y轴以及z轴正方向上的单位向量.于是对于任意一个3D向量 a 而言，则可采取如下形式进行表示：

a = ia 1+ ja 2+ ka 3.

上式中，一般将 a 1， a 2及 a 3称为分向量，一般将分量均为常纯量的向量称之为“常向量”，而分量均为函数的向量称之为“向量函数”.纯量主要包括常纯量及纯量函数，向量主要包括常向量与向量函数.

对于向量以及向量函数而言，一般具有数乘、加法、點乘、叉乘、长度、偏导数以及积分7个方面的运算法则.具体而言，算法如下所示：

（1）数乘：α（ ia 1+ ja 2+ ka 3）= i （α a 1）+ j （α a 2）+ k （α a 3）；

上式中，α属于纯量，即标量.

（2）加法：（ ia 1+ ja 2+ ka 3）+（ ia 1+ jb 2+ kb 3）= i（a1 + b1） + j（a 2+ b 2）+ k （ a 3+ b 3）；

（3）点乘：（ia 1+ ja 2+ ka 3）·（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= a 1 b 1 + a2b2 + a3b 3；

（4）叉乘：（ia1 + ja 2+ ka 3）×（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= i a1 b1j a2 b2k a3 b3 = i（a2b3 - a3b2） + j（a3b1 - a1b3） + k（a1b2 - a2b1）；

（5）长度： |ia1 + ja 2+ ka 3|= a 21+ a 22+ a 23 ；

（6）偏导数： x （ia1 + ja 2+ ka 3）=i a 1 x + j a 2 x + k a 3 x ；

（7）积分：∫ （ia1+ja2+ka3） dx= i ∫ a 1dx= j ∫ a 2dx+ k ∫ a 3dx.

向量函数的微分以及关于其他自变量的偏导数或积分等运算，具体的计算方法均可进行全面推广.对于向量函数而言，它的微分或者偏导数存在如下几个方面的运算性质：