常微分方程在数学建模中的运用

樊小琳

【摘要】 文章主要根据近几年发表的一些参考文献以及教学方式等，对数学教学中的常微分方程在建模中的教学作用进行分析与研究.首先，根据常微分方程在教学中的发展以及数学建模中的作用，进行详细介绍，然后，利用具体的教学事例阐述常微分方程在数学建模中需要注意的事项.

【关键词】 常微分方程；数学建模

数学一直是我国非常重视的科目，它能够很好地提升人们的逻辑思维能力，同时，可应用到社会生活中.微分方程在数学教学中具有非常显著的作用，并且，社会以及数学领域的发展，在一定程度上推动了微积分的进步与成熟，使其在现在的社会中应用非常广泛，本文对常微分在数学教学以及建模的运用进行详细研究.

一、常微分方程在数学中的发展与建模

数学中包含很多的方程或是公式等，例如，常见的线性方程或是指数方程等，虽然方程是数学学习中的重要内容，但不是解决所有数学问题的方法.所以，需要根据问题中提出的实际需要，结合各种条件探索未知方程式.但很多数学问题并不是根据一个简单的方程式或是不变的数值就能得出答案，而可能需要很多的未知数，是一种复杂的函数形式.在遇到这种问题时，其实并没有想象中那么复杂，因为数学方程式之间具有很多的相同之处，利用已知的方程式能够引出另一种解题公式.将题目中的已知条件进行掌握，根据其中数值之间的联系分解出更多的解题方程式.数学解题的方式并不是一成不变的，其中有很多因素是随着条件的变化而变化的，但是在我们研究的常微分方程中还存在很多的疑惑需要解决.通过已经解决的问题我们能够得出，常微分方程主要是根据其中的一个或是多个未知数，寻找出其中的固定量，根据列出的未知数或是方程，求取其中的解，常微分方程是一种微分方程.

常微分中的数学建模主要指在遇到一些比较复杂的问题时对复杂的现象进行详细的分析，从中掌握数学知识中存在的规律，探索出数学知识的抽象关系，利用这些探索出的数学知识来解决现实中遇到的一些问题.这整个运行的过程被称为数学建模.

二、常微分方程在数学建模中的特点

很多关系是瞬息万变的，方程式也是如此，在一个特定的空间或是时间中，因为具体的探索对象不固定，会出现很多的变化，而在这样的基础上会形成一种规律，清晰地掌握这些规律，从中探索出其中存在的一些原理，找到解决问题的关键，这样的变化形式往往是一种建模的状态[1].针对数学建模来讲，首先，是利用具体的建模目的对其中的问题进行清晰的分析，根据方程式的形式列出常微分方程，并且解答出其中存在的疑惑，解出方程中的答案，再根据答案进行探索与分析.因为数学建模自身是一种在思维以及方式上的创新，主要针对问题进行分析与解决，是一个逻辑性的过程，数学建模大部分来自实际的生活经验以及探索方法，利用准确的解题切入点逐渐深入.在探索数学建模的过程中可以根据常微分方程的形式进行解决，因为解决的问题基本上是不固定的，所以，解题的方式等也比较烦琐，利用微分方程的形式能够对其中的思路进行分析，解决问题.

三、常微分方程在数学建模中的具体应用

在碰到一些实际问题期间，首先，需要明确对象，确定正确的数学建模.通过数学建模的目标以及方式等进行假想与简化，再根据其中的固定规律，探索出解题方式.

1.在生活中经常会遇到一些常微分方程数学建模形式，其中包含对经济变化的探析或是市场变化的增长、减少等问题，正常的情况下，我们需要利用实际的发生情况建立微分方程的数学模型，从其中探索出经济或是市场变化规律，及时进行经济策略的制定[2].例如，在市场上推行一种新的产品，t期间的市场销售量为x（t），但是，因为商品的质量以及生产方面都比较优秀，所以，基本上生产出的成品都能够作为一个宣传品.t时期的产品生产销量能够达到 dt dx ，与x（t）基本上是正比例分配，并且在产品生产与销售期间，需要详细了解到市场经济下对这种产品的具体需求量，用字母N来表示，相关的资料显示，这种商品中的 dt dx 在没有大部分进行销售期间已经与销量成正比，所以，计算方程式为 dt dx =kx（N-x），在公式中使用的常数k>0，那么，计算的变量与积分等式为x（t）= N 1+Ce-kNt ，在这样的计算方式下，销售量的逐渐增加会引起销售速度的不断加快，市场的容量会随着商品销售的变化逐渐变化.

2.物理中对于这种常微分方程式的建模形式应用也非常普遍，其中最明显的是动力学模型.从常微分的起源来讲，动力学是起源因素之一，动力学在物理中应用非常广泛，并且是社会上一种比较常见的原理形态.动力学存在的基本定律为F=ma，这公式也是动力学原理中研究动力学计算的基本公式之一[3].在学习物理期间我们都知道，物体在不断下降时的加速度与其重力之间基本上是成正比例的，但是在其中会存在很多的影响因素，其中空气就是最大的阻力.按照常微分方程式的形式计算物体中存在的一些抗力因素，只需要根据公式的变化进行推理就可，方便了物理方面的研究与探索.

四、结束语

文章主要对微积分在数学建模中的运用进行研究，在平时的生活中这种方式非常常见，并且是促进社会进步与发展的重要计算方式之一.与此同时，这种研究能够很好地解开原理的变形，在遵循基本原理的基础上对其进行不断延伸与分化，更深层次地剖析生活中的原理，促进方程式的发展与创新.

【参考文献】

[1]闫永芳.关于在数学建模思想中融入二阶常微分方程的探讨[J].南昌教育学院学报，2012（02）：122-123.

[2]陈华，李宝军.常微分方程在數学建模中的应用[J].大学数学，2012（02）：93-96.

[3]李宝萍.常微分方程在数学建模中的应用[J].赤峰学院学报（自然科学版），2012（21）：1-2.