利用Matlab实现均值和方差最大似然估计

陈明

【摘要】 本文介紹参数估计以及Matlab软件，给出最大似然估计数学定义，阐述了Matlab软件中Statistics Toolbox中Normfit函数格式和使用说明，并举例加以说明，最后，强调论文的出发点.

【关键词】 最大似然估计；Matlab；均值与方差

一、引 言

在很多实际问题中，为了进行某些统计推断，需要确定总体所服从的分布.通常根据问题的实际背景或适当的统计方法可以判断总体分布的类型，但是总体的分布中往往含有未知参数，需要用样本观测数据进行估计，例如，学生的某门课程的考试成绩通常服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2为未知参数，需要用样本观测数据进行估计，这就是所谓的参数估计.它是统计推断的一种重要形式.Matlab和Mathematica、Maple并称为三大数学软件，它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括Matlab和Simulink两大部分.Matlab含有30多个工具箱，其中Statistics Toolbox是专门用于统计的工具箱，包含200多个m文件（函数），主要支持概率分布、参数估计、描述统计、线性模型、非线性模型等应用.

二、最大似然估计数学定义

设总体x为随机变量，其分布的概率函数或密度函数已知，但θ为未知参数，x1，x2，…，xn为样本观测值，称

L（θ）=∏ n i=1 P（xi，θ）=P（x1，θ）P（x2，θ）…P（xn，θ）

为似然函数.当θ=θ ^ 时，似然函数达到最大值，即称θ ^ =θ ^ （x1，x2…xn）为参数θ的最大似然估计值，而θ ^ 可由方程 dL（θ） dθ =0解出，上述方程称为似然方程.

三、Normfit函数说明

Normfit函数可求正态总体参数的最大似然估计和置信区间，其格式为[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=Normfit（x，P），其中x为样本观测值向量，1-P为置信度，muhat为总体均值μ的最大似然估计，muci为置信度1-P的置信区间，sigmahat为总体方差的最大似然估计，sigmaci为置信度1-P的置信区间.

四、举例说明

从某公司生产的药丸中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：

15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87

若药丸的直径服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2未知，求μ，σ2最大似然估计和置信水平为90 % 的置信区间.

利用Matlab软件，输入如下代码：

>>x=[15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 1517 15.12 14.95 15.05 14.87]

>>[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=Normfit（x，0.1）

其计算结果为muhat=15.0560，sigmahat=0.1397，muci=[14.9750，15.1370]，sigmaci=[0.1019，0.2298]，即总体均值μ的最大似然估计为15.0560，90 % 置信区间为[149750，15.1370]，总体方差σ2最大似然估计为0.1397，90 % 置信区间为[0.1019，0.2298].

五、结束语

本文利用Matlab实现最大似然估计有两个主要原因.第一是问题本身，即利用该软件来计算结果，得出正确答案.第二是熟悉Matlab软件，正如本文开头所述，Matlab是数学专业软件，作为数学的重要分支统计学，熟练使用数学软件进行统计学计算既是必备能力也是学生发展的需要.

【参考文献】

[1]张贤明.MATLAB语言及应用案例[M].第1版.南京：东南大学出版社，2010.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]郑喜英，孔波.基于Matlab的概率统计教学研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），2014，23（1）：56-60.