Mathematica软件在高等数学教学中的应用

2017-03-29章丽娜

数学学习与研究 2017年5期

章丽娜

【摘要】借助Mathematica软件强大的符号运算功能和作图功能，在高等数学教学中引入该软件进行辅助教学，可解决学生数学运算问题、函数的图形绘制问题等，提高学生的数学分析能力和解决综合应用问题的能力.

【关键词】 Mathematica软件；高等数学；绘图；计算

【基金项目】湖州师范学院教学改革一般项目（JGB026）；浙江省自然科学青年基金项目（LQ14A010009）.

近几年，一些教师对借助数学软件Mathematica辅助教学做了深入的研究[1-7].Mathematica是美国Wolfram研究公司开发的一个功能强大的数学软件[8].它可以进行公式推导、方程求解、矩阵运算、微积分计算以及数理统计等多种符号演算和数值计算工作.同时，它有强大的图形处理功能，可以很方便地画出一元和二元函数的图形，也可直接生成动态可视化图形.更重要的是，Mathematica软件界面简洁、操作简单，易学易用.对于高等数学这样一门内容较抽象的课程，如何突破教学难点，使高等数学由难变易，Mathematica软件可以发挥重要作用.本文通过在高等数学教学中使用Mathematica软件辅助教学过程的几个案例来加以说明.

一、Mathematica软件的绘图功能的应用

例1 通过图形及数值观察理解两个重要极限：

（1）lim x→0 sinx x =1.

（2）lim x→∞ 1+ 1 x x=e≈2.718 28.

（1）Mathematica語句：Plot[{sin[x]/x，sin[x]，x，{x，-4，4}，Plotstyle→{AbsoluteThickness[4]}，AspectRatio→1.2，PlotRange→{-2.5，2.5}]

得到结果如图1所示.从图1可看出，当|x|很小时，sinx≈x.函数y=sinx和函数y=x在x=0处相切，从导数的定义出发，可知sinx与x在x=0处具有相同的变化率，从而直观猜测这两个函数之比 sinx x 当x→0时的极限为1.借助这些形象的展示也可以为后面要学的洛必达法则的理解带来一定帮助.

（a）n→∞时数列 1+ 1 n n的变化趋势.（b）x→∞时函数 1+ 1 x x的变化趋势.（c）（a）与（b）在同一幅图中的显示.

图2通过描绘数列 1+ 1 n n和函数 1+ 1 x x在其定义域上的图像，让学生对该函数有一个直观的了解，进一步对该函数当x→∞时的极限能够自然地接受.

由例3可以看出，用图形法判定和讨论函数极限，直观而真实，能透过现象直达本质，具有纯理论的抽象研究无法媲美的优点.学生在学习高等数学的过程中，普遍体现出空间想象能力的薄弱.很多学生不能画出许多立体曲面、曲线等复杂图形，从而挫伤他们的学习积极性.在进行多元函数积分学的教学中，可以借助Mathematica软件在图形演示功能方面的优势，让学生更加直观地看到所求问题的演示，从而帮助学生加深理解.

二、Mathematica软件的符号和数值计算功能的应用

例4 计算不定积分∫sinax·sinbx·sincx dx.

要计算这个不定积分，需要用到多次积化和差.计算枯燥、烦琐、易错.但是，利用Mathematica符号计算就很简单.

输入：Integrage[sin[a*x]sin[b*x]sin[c*x]，x]

输出： 1 4 （ cos[（a-b-c）x] a-b-c - cos[（a+b-c）x] a+b-c - cos[（a-b+c）x] a-b+c + cos[（a+b+c）x] a+b+c ）

例5 计算不定积分∫ x2+1 （x+1）2（x-1） dx.

有理函数的积分，往往要对被积函数进行拆项.这个拆项的过程烦琐、单调乏味，十分影响学生的学习兴趣.笔者认为，在不影响学生手工计算能力培养的基础上，适当利用Mathematica软件来辅助计算未尝不可.这样不仅可以提高学生的学习积极性，还可以让学生有更多的时间和精力投入真正的数学问题的解决上.

Mathematica能求常微分方程（组）的精确解，能求解的类型基本覆盖了人工求解的范围.当然Mathematica求常微分方程的数值解也很方便，且能作出解的图形.

【参考文献】

[1]陈美英.Mathematica对学生学习《高等数学》的意义简析[J].石家庄学院学报，2008，10（3）：110-114.

[2]纪宏伟，苏莹，高金新.Mathematica在高等数学中的典型问题应用探索[J].贵州师范学院学报，2011，27（3）：211-213.

[3]王小华.基于Mathematica的高等数学教学实践[J].重庆科技学院学报，2010，12（4）：195-198.