三法并举，破解立体几何题

福建 黄清波

(作者单位：福建省南安市国光第二中学)

三法并举，破解立体几何题

解答立体几何问题主要有三种方法：综合法、坐标法和向量法.“三法”的准确定位应该是并举！即不宜人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析.本文以2016年高考全国新课标卷Ⅰ理科第18题第(Ⅱ)问的求值问题和2016年高考全国新课标卷Ⅲ理科第19题第(Ⅰ)问的证明为例展开，谈谈对“三法”的几点认识，希望对大家今后在立体几何学习、复习中能够受到一定启发.

【例1】(2016·新课标Ⅰ理·18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．

(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值．

解法探究

本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度适中.对于第(Ⅰ)问由已知易知AF⊥FE，AF⊥FD，得AF⊥平面EFDC，且AF⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.本文主要研究第(Ⅱ)问，运用所学知识，从三种不同的视角进行思考．

1.综合法

【分析】根据题意，设法找出二面角的平面角，把问题转化为常规二面角的求解.本题所求二面角是一个钝角，不好直接找，可通过补形，易得该二面角的补角，从而求出该二面角的余弦值.

【评注】在证明与指数式有关的不等式时，用二项式定理可将指数式转化成多项式.

【结语】在利用放缩法证明不等式时,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.

(作者单位：福建省南安市国光第二中学)

江西省赣南师范大学科技学院，山东省邹平县黄山中学)

【解法1】由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°，

因为AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，又AB⊂平面ABCD.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

所以AB∥CD，所以CD∥EF.

所以四边形EFDC为等腰梯形.

根据该几何体的特征，将它嵌入以AB为边长的正方体中，

如图，延长DC交正方体的棱于点M，连接BM,

AB⊥平面BEM,又AB⊂平面ABCD,

所以平面ABCD⊥平面BEM.

又平面ABCD∩平面BEM=BM,

过点E作EG⊥BM,垂足为G，则EG⊥平面ABDM.

过点G作GH⊥BC,垂足为H,连接EH.

∵EG⊥平面ABCD，

∴EG⊥BC.

∴BC⊥平面EHG，

∴BC⊥EH，

则∠EHG为所求二面角的补角.

由△BGH∽△BCM,

【点评】综合法是以逻辑推理作为工具解决问题，解题过程中经常要引入辅助线，运用大量的几何定理公理，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力要求较高，在教学过程中，应引导学生优先考虑用综合法解题，尝试着去处理图形，即对图形进行分割、补全、折叠、展开、添加辅助线等，借此不断提高自己的空间想象能力.

2.坐标法

【分析】结合几何体的特征，直接建立空间直角坐标系E-xyz.然后找出相应点的坐标，套用相关模式，可得以下解法.

【解法2】由解法1知，四边形EFDC为等腰梯形.

以E为原点，如图，建立空间直角坐标系E-xyz.

设平面BEC的法向量为m=(x1,y1,z1).

设平面ABC的法向量为n=(x2,y2,z2).

设二面角E-BC-A的大小为θ.

【点评】坐标方法主要是利用向量的相关知识及其运算来解决问题，即用代数的方法解决几何问题，将数与形完美地结合起来，降低了立体几何解题的思维难度，解题有一定的规律性，便于学生掌握.其步骤：①建系；②找点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤下结论.不规则图形的坐标系的建立较为灵活，但还是有“法”可依，平时教学过程中，应加强不规则的几何体中建坐标系的训练与练习，帮助学生消除心理障碍.另外，建立坐标系后，通常会增加某些点坐标表示的难度，除了作“射影”来求，大多是通过“算”来表示.同时，还应加强表示动点坐标的训练，如引进参数来表示.

3.向量法

【解法3】由解法1知，四边形EFDC为等腰梯形.

在△ABC中，过点A作AN⊥BC，垂足N，

设二面角E-BC-A的大小为θ.

【点评】向量法是指非坐标向量法，较之坐标法，向量法不需要建系，且运算简捷、可操作性强，更能体现向量的魅力.但就学生而言，由于向量运算毕竟属于一种新的运算体系，形式化要求高，总感觉运用时不习惯、不顺手.在教学过程中，应帮助学生突破过高形式化带来的困难，从而让学生充分感受向量法的优美和力量.

【例2】(2016·新课标Ⅲ理·19)如图，四棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

证明：MN∥平面PAB.(节选)

本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及线面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.难度适中.

1.综合法

【分析】要证明线面平行，首先想到线面平行的判断定理,由线线平行得出线面平行，题目出现中点，联想到要利用中位线的性质,据此思路,可得下列解法.

又AD∥BC,所以TN∥AM,TN=AM.

所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN=AT.

又AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,

所以MN∥平面PAB.

【分析】利用面面平行的性质定理,也可得到线面平行,一样是利用中位线的性质,有下列解法.

【解法2】取BC的中点T,连接TM,TN,

又BT=2,且AM∥BC,所以四边形ABTM是平行四边形,

所以TM∥AB,又AB⊂平面PAB,TM⊄平面PAB,

所以TM∥平面PAB.

由TN∥PB(中位线性质),得TN∥平面PAB.

所以平面TMN∥平面PAB.

因为MN⊂平面TMN，所以MN∥平面PAB.

2.坐标法

【分析】结合几何体的特征，直接建立空间直角坐标系A-xyz.然后找出相应点的坐标，根据问题套用相关模式，可得以下解法.

【解法3】取BC的中点T,连接AT.

又MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.

【解法4】设n=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量，

所以DM∥平面PAB.

3.向量法

所以MN∥平面PAB.