集合问题常见的处理策略

山东 杨成武

(作者单位：山东省滨州市邹平县黄山中学)

集合问题常见的处理策略

集合是高中数学一个最基本的概念，是表述数学问题的重要工具和载体.集合知识的基础性地位，使其成为高考必考内容.近年来，随着高考能力立意思想的加强，对集合知识考查的深度、广度和交汇度都在不断增大.下面结合典型例题，介绍集合问题的处理策略.

一、用数轴解决集合间的包含关系

【解析】化简得B={x|(x+3)(5-x)≥0}={x|-3≤x≤5}．由BA，得且等号不能同时取到，解得-8≤a≤2．经检验，a=2和a=-8均满足题意，所以实数a的取值范围是{a|-8≤a≤2}.

【评注】P⊆Q的含义是：若x∈P则x∈Q；PQ的含义是：若x∈P则x∈Q，并且P≠Q.在数轴上表现为一个区间完全落在另一个区间的内部，但要注意端点是否包含.因此做此类题目一定要有检验环节，比如中等号不能同时取到，可以求解之后再检验一下，否则容易得出错误答案.

【变式1】已知集合A={x|-1

【解析】-a+1≤-1且3≤2a-1且-a+1<2a-1，且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得a>2.

二、用数轴处理两个集合存在公共元素的问题

【例2】已知集合A={x|-1

【解析】(法一)由于集合B的长度长于集合A的长度，又A∩B≠∅，则集合A的两个端点至少有一个在集合B所在的区间中，如图(1)，则a+3>-1；或如图(2),则a<1.

(法二)设A∩B=∅，则a+3≤-1或a≥1，解得a≤-4或a≥1.由题意结合补集思想得出实数a的取值范围是{a|-4

【评注】两个数集之间有公共元素，也就是它们表示的区间有公共的点，通常我们可以利用数轴，比较两个区间的端点即可,注意检验等号能否成立．本题采用补集思想解答显然更简洁.

【变式2】已知集合A=(-∞,-1]∪[2,+∞)，B=[a,3-a]，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．

(法一)比较区间端点可知A∩B≠∅时，a≤-1或3-a≥2，解得a的取值范围是a≤1.

三、 韦恩图(Venn图)的应用

【例3】在开秋季运动会时，某班级共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人,只参加径赛的同学有多少人?

【解析】画出韦恩图如图所示，只参加径赛的人数为y=15-3-3=9.设同时参加田赛和球类比赛的有x人，列式得9+3+5-x+3+x+11-x=28，化简得31-x=28，解得x=3，故同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人.

【评注】对于涉及的集合信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．画出韦恩图，将每一个区域内的元素个数标出来.

【变式3】已知I为全集，集合M，NI，若M∩N=N，则

( )

【解析】因为M∩N=N，所以N⊆M，画出韦恩图(图略)，所以IM⊆IN.

四、函数图象处理集合之间的包含关系

【例4】设集合M={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0,x∈R}，集合B={x|-1≤x-1≤2}，若M⊇B，求实数a的取值范围.

【评注】本题集合A是不等式x2+2(1-a)x+3-a≤0的解集[x1,x2]，实质上就是函数f(x)的函数值小于0时对应的x的范围，在图形上表现为图象位于x轴下方的自变量的范围，[x1,x2]⊇[0,3]，就是在区间[0,3]上f(x)的函数值都不大于0.

【变式4】设集合M={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0,x∈R}，集合B={x|1≤x≤3}，若M⊆B，求实数a的取值范围.

或-1

五、元素不属于集合的两种处理方式

【评注】这类问题适合用补集思想,即先求2∈M时a的取值范围再取补集即可.法2 中容易遗漏4a-1<0(即M=∅)这种情况.

六、单元素集合与集合的子集只有一个的问题

【评注】注意只有一个子集与只含有一个元素的区别.单元素集合有两个子集，而空集只有一个子集.

( )

A．4________B．3________C．2________D．1

【解析】由题意，A∩B为单元素集，即双曲线x2-y2=1与y=t(x+2)+3有且仅有一个交点，则y=t(x+2)+3为双曲线切线(有两条)或与渐近线平行(有两条)，所以对应t值的个数为4，故选A.

(作者单位：山东省滨州市邹平县黄山中学)