丁丁梦游数学王国

丁学明

一天，丁丁看一本《数学王国故事》，看着看着就入迷了。突然，一只小狗从书中跳了出来，对丁丁说：“丁丁，你好！我是数学王国的麦斯狗，是数学的化身。听说你很喜欢数学，所以数学王国国王就派遣我来带你到数学王国旅游。”丁丁听了，高兴得跳了起来。

一、哥尼斯堡的七座桥

麦斯狗向空中抛出一块飞毯，随着一声“开”。飞毯慢慢舒展开来。丁丁无比高兴地踏了上去，只听“嗖”的一声，丁丁和麦斯狗就飞向了高空，呼啦啦的风声不绝于耳。飞毯在空中快速飞着，他们往下望，一片绿一片黄一片蓝快速变换着。

丁丁突然看到一个美丽的城堡，里面人来人往。丁丁好奇地问麦斯狗：“麦斯狗，你看，那美丽的城堡里有很多人呢，肯定很好玩吧。”

麦斯狗知道丁丁说的是哪个地方，对丁丁说：“那可是世界上著名的哥尼斯堡哦。”

“一个城堡还有什么特别之处吗？”丁丁追问道。

“当然，要不，我们就到这个城堡中玩玩吧。”

“好嘞！”丁丁欢呼雀跃。

麦斯狗按下飞毯，飞毯稳稳地降落到城堡里。麦斯狗收了飞毯，对丁丁说：“我们也在城堡中走走吧！”

“当然，不然下来干什么呢！”

两位边走边聊，麦斯狗对丁丁说：“你看，这是一条清澈的小河，河上的七座桥将河中的两个岛和河岸连接起来（如图1），多么有趣啊！”“是啊！真好玩啊！”“丁丁，我们做个游戏吧！”“好啊！”“你能不能从我们现在这个地方出发。走遍每座桥和两个岛？要求每座桥只准走一次，最后又回到我们现在这个地方。”

丁丁听后。对麦斯狗说：“你的游戏也太简单了，看我的。”说完，丁丁就迫不及待地走了起来。

一会儿，丁丁就走了几座桥，可是达不到麦斯狗的要求。丁丁不甘示弱，又从起点重走。走了几次，可丁丁还是不能完成这个游戏。

麦斯狗看丁丁也走累了，忙对丁丁说：“你就停下来吧！你是不能一次不重复地走遍这七座桥和两个岛的。”

“你这不是在骗我吗？早知道不行为啥还要我走呢？”丁丁已经累得上气不接下气。

“哈哈哈！”麦斯狗一边笑一边说，“其实，这就是数学历史上著名的‘哥尼斯堡七桥问题。在你走之前，不知有多少人试着走了多少次，也都没有成功。”

麦斯狗停下了话头，丁丁虽然还在喘着粗气，却对麦斯狗说：“有趣，接着说。”

“后来，人们就把这个问题给了当时最伟大的数学家欧拉。欧拉将此问题简化成了一个图。”麦斯狗在地上边画边说，“两个岛用A、B两点表示，两岸用C、D两点表示。七座桥用a、b、c、d、e、f、g七条线表示，这样，‘哥尼斯堡七桥问题就变成了一个连通图形（如图2）能否一笔画成的问题。欧拉经过不懈的努力研究，最后得出一笔画图形的规律：①凡是由偶点组成的连通图。一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点。最后一定能以这个点为终点一笔画成此图。②凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。③其他情况的连通图都不能一笔画成。”

丁丁听完一笔画图形规律后。再对照图2，发现图2有四个奇点，很明显，这样的连通图不能一笔画成。

丁丁发出感叹：“生活处处皆数学啊！”

最后，丁丁又在桥上走了几圈，并且还留了影，依依不舍地离开了哥尼斯堡。

二、单面世界

丁丁还在频繁地回头看哥尼斯堡，麦斯狗看到丁丁还依依不舍，就找了个话题：“我给你讲个故事吧！”

丁丁说：“好吧。”

麦斯狗讲了下面一个故事：

从前，一个县官的侄子偷了一个农民的东西，被抓住送到县衙。县官为了包庇自己的侄子，在判决纸正面写上了“农民应当关押”，反面写上了“小偷应当放掉”。执事官在宣布时，做了一个小动作，将判决纸扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：应当放掉农民，应当关押小偷。县官听了结果，大怒，问是怎么回事，执事官把判决纸亮给县官，县官一看，哑口无言。最后没办法，只得关押了自己的侄子，放了农民。

丁丁听完，笑道：“这个故事真的有趣！不过这样的事情恐怕只能编造吧。”

麦斯狗望望丁丁，说：“虽然故事是编的，但这种事也是可能发生的。那就是在‘单面世界上。”

第一次听到“单面世界”这个词。丁丁就来劲了：“快说说什么是‘单面世界吧。”

麦斯狗说：“你在手工课上做过粘纸环吧。”“当然，这是常有的事。”“有没有把纸条粘错的情况？”“这常常会出现！”麦斯狗掏出一张纸条，粘成了一个环（如图3），亮给丁丁看。

丁丁一看：“对，同学们常犯这样的错误。”

“呵呵，这就是‘单面世界。不信你把刚才故事中执事官做的事在这个环上试试。丁丁接了过来，试了一遍，发现果然可行。

“哈哈，看来我们的同学早就发现了这个‘单面世界！”丁丁高兴地说。

麦斯狗接过丁丁的话说：“其实，这种纸圈是由德国数学家莫比乌斯于1858年首先发现的，所以，这种纸圈被称为‘莫比乌斯带。因为它只有一个面，所以也叫‘单面世界。”

丁丁听完了关于“莫比乌斯带”的故事，发出感叹：“数学真是奇妙无穷啊！”

“更奇妙的还有呢。”麦斯狗这句话把丁丁的胃口吊得更高了。

“快说快说！”丁丁催促麦斯狗。

麦斯狗又讲了一个故事：

古时候。有一个国王给他的五个儿子留下一份遗嘱：如果你们希望各自立国的话，可把我的国土分成五份，每人治理一个小国。但是，有一个条件，每个小国必须与其他四国有共同的国界，否则，不准分开！王子们遵照父王的遗嘱。请来最有才华的大臣帮助他们划分国土，然而，总有几个国家不能有共同的国界。正在王子们垂头丧气的时候，一位大臣送来了一个锦囊，说是遵照老国王的嘱托，在王子们遇到困難时拿出来。王子们立即打开，原来里面有一张纸，纸上写着：我的遗嘱是一道永远也解不出的难题，是为了使你们亲密团结、永不分开而留下的。

丁丁听得津津有味。

三、韩信点兵

麦斯狗说：“下面我给你讲个中国的数学故事吧。”丁丁说：“好啊。”“就讲讲韩信点兵吧，”麦斯狗接着说，“秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信的1500名将士与楚军大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡时，忽有后军来报。说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大乱。韩信来到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们说出‘我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人的一番话。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是‘神仙下凡‘神机妙算，于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声震天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。”

丁丁听完点点头：“很不错的故事啊！”

麦斯狗继续讲道：“在中国古代数学名著《孙子算经》中就有与韩信点兵类似的问题‘今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。”

丁丁听后说：“这个问题和韩信点兵都能用公倍数的方法求得。其实，我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法。”丁丁说完，就写下了如下的口诀：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

麦斯狗对丁丁说：“你知道得太多了，真棒！”

丁丁刚要说话，突然，麦斯狗不见了，飞毯在天空中一下也不见了，丁丁从飞毯上掉落下来，丁丁吓得惊叫起来。

丁丁猛一抬头，醒了，原来丁丁趴在《数学王国故事》上做了一个梦。