立足整体，抵达问题的本质深处

方红梅

摘 要：数学解题必须紧扣问题的数学本质。立足于习题的整体视角，往往能够拓宽解题的视域。为此，教师要善于引领学生进行整体观察、整体换元、整体思量、整体比较、整体构图、整体体验等，由此把握数学问题的整体特征、形式结构与本质。

关键词：整体思路；解题技巧；数学本质；解题视域

在数学解题过程中，当采用“各个击破”的策略将解题的着眼点聚焦于一个个零碎的条件而不能解决问题时，我们就需要立足于习题的整体结构，拓宽解题的视域，纵观全局而进行思考。通过对习题的整体特征、整体形式、整体结构等进行观察、思考、操作，引导学生从宏观上认识问题的数学本质。由此化难为易、化繁为简，进而提高学生分析问题和解决问题的能力。

一、整体观察

数学的整体观察是数学解题的重要策略。所谓“观察”是一种有意识、有目的的活动。数学观察指向于数学问题的解决，主要是从数学的视角看习题中数的特征、式的特征、形的特征。从整体上进行观察、辨析，有助于迅速剔除题目中非本质的细枝末节，获得对问题的本质理解和把握。

例1：如图1，在一个足够大的三角形中，以三角形的三个顶点为圆心，分别画一个半径为4厘米的扇形。那么，这三个扇形的面积之和是多少平方厘米？

分析：此题如果我们按照一般的解题思路，就是分别求出三个扇形的面积，然后求和。由于这是一个一般的三角形，而三角形三个角的度数题目中没有告诉我们，所以我们是无法分别求出三个扇形的面积的。基于此，我们可以从整体上进行观察、思考。不难发现，三个扇形的圆心角的度数和为180°，因此，我们可以将三个扇形进行合并，拼成一个半径是4厘米的半圆。那么，要求三个扇形的面积之和也就是求半圆的面积是多少平方厘米。

因此，三个扇形的面积之和为：S=πr2÷2=π×4×4÷2=25.12（平方厘米）。

二、整体换元

在解决数学问题的过程中，有时我们会发现题目的表征非常繁杂，常常让我们感到无所适从。着眼于习题的部分结构，我们会觉得很陌生，而着眼于习题的整体形式，我们又觉得似曾相识。为此，我们可以尝试整体换元，将习题的复杂表征形式变得简约。整体换元常常让我们在“山重水复疑无路”时步入“柳暗花明又一村”的解题境界。

三、整体思量

解决数学问题常常需要我们仔细分析题目中的数量关系，甚至采用“条分缕析”的方法，寻找并抓住解题的突破口。但有时这样的方法往往会让我们走进“死胡同”，形成思维定式。基于此，数学教学中教师有时要引导学生打破思维的习惯，从习题的整体上寻找解题思路。要善于洞悉问题的数学本质，进而找寻到解题的捷径。

例3：苏步青是我国著名的数学家，一天，苏步青在德国与另一名德国数学家散步。其间这位数学家出了这样一道题让苏步青教授解答。题目是：甲、乙两人同时从相距200千米的两地相向而行，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时8千米。甲带了一只狗，狗与甲同时出发，奔向乙，狗的速度是每小时20千米。在遇到乙后，狗又立即返回奔向甲。如此，狗在甲、乙两人之间来回奔跑，直至甲、乙两人相遇。那么，这只狗一共跑了多少千米的路程？苏步青教授略加思索就给出了答案，那么，苏步青教授是怎样思考的呢？

分析：这道题的问题是“狗跑了多少千米？”如果我们用线段图表征这一道题的形式，从狗的角度思考问题，就会发现狗的奔跑路线是非常复杂的，且每一趟奔跑的距离都在发生变化，问题的解决就显得非常困难。而如果我们着眼于整体，将甲、乙两个人的行走时间与狗的行走时间通盘考虑，就会发现甲、乙两人是与狗同时出发、同时停止（相遇了）的。因此，狗的行走时间就是甲、乙两人从出发到相遇的时间，这其中狗没有停留。由此，我们可以计算出狗奔跑的路程：200÷（12+8）×20=200（千米）。

四、整体比较

所谓“整体比较”就是我们在解决数学问题时要对习题的整体和各部分关系进行考量，既要着眼于习题整体，也要兼顾习题各部分的特征。在解题中，如果我们能够从整体着眼，把握习题各部分条件与问题之间的关系，就能从中找寻到解决问题的思路，这是数学解题常用的策略。

五、整体构图

数学是美的，“数学的美”在于形式的“和谐”与“完整”。有时，数学习题给我们提供的是一个“断臂的维纳斯”，它召唤着我们对其进行积极的想象、补白。为此，教师可以引导学生进行整体地构图，根据“对称原理”，可以将不规则、不完形的图形转化成规则、完整的图形。如此，将让图形的内在数学本质显示出来，进而达到快速解题的目的。

例5：如图2，有一个底面半径是3厘米的圆柱，从圆柱的正中间斜着截取了一段，截后的形体体积是多少立方厘米？

分析：从上图不难看出，这是一个不规则的几何形体，直接解题比较难。我们可以根据题意进行整体想象，将这个几何形体恢复成截取之前的状态。也就是说，我们可以对这个几何形体进行“整體构图”，根据“对称原理”，用和它一样的几何形体，按照一正一反的顺序拼接起来。显然，我们能够拼接成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径是3厘米，高是14厘米，体积是这个不规则几何形体的2倍。

因此，V=πr2h÷2=π×3×3×14÷2=63π（立方厘米）。

六、整体体验

有些数学问题的表述对学生而言往往是“乱花渐欲迷人眼”，学生容易被数学习题中的一个个条件“牵着鼻子走”。为此，教师要引导学生有意识地跳出具体的局部细节，洞察整体与局部的关系，对问题获得一种整体的体验与感悟。运用“整体思维”思考问题，往往能够让我们在解题中获得新的思路。

例6：有两只同样的杯子，分别装有100毫升的果汁和牛奶。如果我们先将果汁杯中的果汁倒20毫升到牛奶杯中，搅拌均匀；再将牛奶杯中的混合溶液倒20毫升于果汁杯中；如此反复两次。那么，是牛奶杯中的果汁多还是果汁杯中的牛奶多？

分析：本题中的具体数量容易引诱我们去关注每一次倒后牛奶里的果汁含量以及果汁里的牛奶含量。如果我们将解题的目光聚焦于这些局部细节，本题的解答将非常复杂。为此，我们可以撇开具体数值，从整体入手。不难发现，不管怎样地倒来倒去，两杯中的溶液总量始终是相等的，有多少牛奶进入果汁的杯中就有多少果汁进入牛奶的杯中。因此，果汁杯中的牛奶与牛奶杯中的果汁始终是相等的。

数学解题是一门艺术，其中蕴藏着诸多的解题技巧。合理运用“整体思维”，常常能够化繁为简，化难为易。立足于整体的视角解题，往往能够抵达问题的本质深处，进而产生创造性的解题灵感，由此突破解题的思维定式、思维障碍，一举解决数学问题。