AR模型参数的抗差递推估计

王玉丽 ，包为民，沈丹丹，周俊伟，孙逸群

(河海大学水文水资源学院，南京 210098)

实时洪水预报误差修正主要利用实时系统能获得的观测信息和一切能利用的其他信息对预报误差进行实时校正，以弥补流域水文模型的不足[1]。实时修正的方法有很多，如抗差修正[2]、神经网络修正[3]、卡尔曼滤波法以及自回归修正等。

当水文预报模型采用概念性水文模型，如新安江模型时，实时校正模型可采用误差自回归( AR)模型[4]。一般实测资料误差服从正态分布，但若实测资料遭到污染出现异常值，在误差自回归模型中就转化为误差中存在异常值，即存在不满足正态分布的误差甚至错误，再利用传统的估计方法得到的结果就不可信[5]，本文把抗差估计方法引入到AR模型的参数估计中，由抗差能够抵御异常值的特性来减小异常值对估计方法的影响，并与传统方法进行比较分析。

1 方法介绍

1.1 递推最小二乘法

n阶的AR模型：

ε(t)=XTtC+δtt=1,2,…,N

(1)

式中：ε(t)为t时刻的实测与计算流量之间的差值；Xt=ε(t-1),ε(t-2),…,ε(t-N)；C为AR模型的参数矩阵。

当流量资料系列存在异常误差时，就转化为 系列存在着异常值。t时刻的参数估计为：

(2)

Φt=[X1,X2,…,Xt];Yt=[ε(1),ε(2),…,ε(t)]

根据矩阵的分块乘法，得到递推公式为：

(4)

由以上可知，递推最小二乘算法的思想就是：新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项，即新的递推参数估值就是在旧的递推估值的基础上修正而成的。

1.2 抗差递推最小二乘法

给AR模型的误差系列的每个值加上初始权重，初始权重为单位阵，则式(2)就转换为：

(5)

式中：Wt=diag[w(1),w(2),…,w(t)]，W(t)是t时刻的权重值。

此处设P(t)=(ΦTtWtΦt)-1，得到抗差递推最小二乘法的公式为：

(7)

针对所研究的问题，此处采用以下抗差权函数形式：

(8)

式中：σ为加权残差均方差；δ(t)为残差；k1和k2为常数，k1=1.5，k2=2.5。

1.3 误差生成模式

异常误差生成模式：

(9)

2 实例应用

2.1 流域概况

闽江流域处于亚热带季风气候区，流域多年平均降水量 1 724 mm，年内分布不均，年际变化大，其中60% 左右的年降水量主要集中在4-6月，丰水年降雨量是枯水年的2～3倍。受气候的影响，流域内多年平均蒸发量为915.0 mm，夏季蒸发量较大，冬季蒸发量较小。水吉流域地处闽江上游地区，流域面积3 767 km2，多年平均气温15～20 ℃。本文选用水吉流域1988-1999年之间的18场洪水资料进行分析，流域年平均降水量为1820 mm，年平均径流深972.0 mm，径流系数大于0.4，属于典型的湿润地区，因此使用三水源新安江模型进行洪水模拟预报是较为合理的[6]。

2.2 应用检验

2.2.1 无异常值情况

当实测流量资料中无异常误差时，分别运用递推最小二乘与抗差递推最小二乘法进行计算，将递推最小二乘的估计结果作为近似真值，记为C0。表1是无异常值情况下抗差递推最小二乘法计算的参数估值相对于C0的偏离程度。并用两种算的参数估计结果进行实时修正，用确定性系数(DC)作为衡量指标，结果见表2。

表1 无异常值情况下抗差递推最小二乘法结果的偏离程度Tab.1 Parameter dispersion degree of robust recursive least-squares result without abnormal error

表2 无异常值情况下两种算法的确定性系数Tab.2 Deterministic coefficient of the two methods without abnormal error

分析表1，参数估值的均方差能够反映参数估计的稳定程度，估计参数的波动越大，所对应的参数均方差也越大，因此，可以采用参数均方差来比较分析两种算法的好坏。由表1可以看出，当资料中不含异常值时，抗差递推最小二乘法相对于真值的离散程度很小，说明与真值非常接近，即在观测值无异常值的情况下，抗差递推最小二乘法能够获得最优估值。

分析表2，把两种算法得到的参数估值进行实时修正，以洪水过程确定性系数进行衡量，可以看出，两种算法的结果非常接近，并且能获得较好的实时校正效果。

2.2.2 有异常值情况

采用式(9)生成异常误差，添加到正常的流量资料中，以此产生含有异常误差的数据。通过不同的p和T值情况下的计算，来分析不同量级和频率的异常误差对抗差估计的影响，本文选取p=2、3、4，T=5、8、10，共9种组合情况。表3表示在这9种情况下两种算法计算的参数估值相对于真值的偏离程度，表4则显示了这两种算法所获得的参数值进行实时洪水校正的效果，以确定性系数(DC)作为衡量指标。

表3 不同量级和频率的异常误差情况下两种算法的参数均方差Tab.3 Parameter Mean Square Error of the tow methods with different magnitude and frequency of the abnormal error

注：V为未抗差，VR为进行了抗差。

表4 不同量级和频率的异常误差情况下两种算法的确定性系数Tab.4 Deterministic coefficient of the tow methods with different magnitude and frequency of the abnormal error

这5场洪水的计算结果相似，现选取970605次洪水为例来比较两种算法在不同量级和频率的异常误差情况下的结果，选取p为3、4时在频率为5的情况下的两种算法的效果，其结果如图1所示(其中RRLS为抗差递推最小二乘法，RLS为递推最小二乘法)，然后再比较两种量级(p=3、4)下不同频率(T=5、10)的抗差效果，结果如图2所示。

图1 970605号洪水不同量级异常误差下的两种算法的效果(以p=3、4，T=5为例)Fig.1 Tow methods Result of 970605 flood with different magnitude of the abnormal error(take p=3、4，T=5、10 as example )

图2 970605号洪水不同频率异常误差下的抗差效果(以p=3、4，T=5、10为例)Fig.2 Result of 970605 flood with different frequency of the abnormal error(take p=3、4，T=5、10 as example )

分析表3可以看出，在不同量级和频率的异常误差情况下，递推最小二乘算法的参数估计值严重偏离真值，随着异常误差量级的增大和频率的减小，参数均方差越大，即估计效果越差。而抗差递推最小二乘法依据抗差能够抵御异常误差对参数估计的干扰这一特性，获得参数均方差比递推最小二乘的小。

分析表4同样可以发现，递推最小二乘算法的校正效果明显受异常值得影响，且随着异常误量级的增大，校正精度越差，而抗差递推最小二乘的结果相对较稳定，且效果比递推最小二乘的结果要好很多。

分析图1可以看出，递推最小二乘的参数估计结果波动很大，且严重偏离真值。而抗差递推最小二乘的结果和真值比较贴近，但是当p=4的结果比p=3的结果要好些，这是因为异常误差的量级越大，则越容易被识别出来，抗差的效果随着异常值量级的增大而越好。

分析图2显示，同一量级的异常误差情况下，T=10的效果要比T=5的效果要好，这是因为随着异常值的个数增多，抗差准确探测异常的概率就会降低，相应的修正效果也降低。由图2也可以看出，同一发生频率的异常误差下，误差量级越大则修正效果越好。

3 结 语

(1)当观测值中无异常误差时，对于AR模型的参数估计，利用递推最小二乘法与抗差递推最小二乘法都可以获得理想的值，且两种算法的结果相近，将两种算法获得的参数估值进行实时计算，可提高实时洪水预报的精度。

(2)当观测值中含有异常误差时，递推最小二乘法的结果严重偏离真值，抗差递推最小二乘法依据抗差理论的特性，在不同量级和频率的误差情况下都能够抵御异常值的干扰，获得比较稳定可靠的参数，由此得到的实时修正效果也非常理想。

(3)无论观测数据中是否含有异常误差，抗差递推最小二乘法获得的参数结果都非常接近优值，也能得到精度相对较高的实时校正结果。

(4)可以看出异常值的数目对抗差估计的效果是有影响的，对于这一数目的确定有待进一步研究。

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[1] 包为民.水文预报[M].北京:中国水利水电出版,2006．

[2] 包为民,嵇海祥,胡其美,等.抗差理论及在水文学中的应用[J]. 水科学进展,2003,14(4):528-532.

[3] 覃光华,丁 晶.基于人工神经网络的卡尔曼滤波实时校正技术[J].水力发电,2002,(11): 9-12.

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[7] 赵人俊.流域水文模拟-新安江模型与陕北模型[M].北京:水利电力出版社，1984:110-112.

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