圆上一点的切线方程

刘小朋

摘要：在高中阶段求圆上一点的切线方程一般的步骤是：（1）先求圆心和切点的斜率；（2）再用点斜式直线方程求出圆上一点的切线方程。这种方法很实用但是好多学生不注意总结，将点斜式的直线方程转变成了我们的一般式直线方程，错过了将这一结论推广的机会，也在以后的解题过程中给自己带来了很大的计算量。

关键字：切线；图像平移；切点；椭圆上切线

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）12-0282-01

下面我就从基础理解、提高理解、迁移理解三个方面来讲切线方程在不同曲线中的形式。

1.基础理解

求过圆x2+y2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程。

解：Q op⊥lp

xx0a2+yy0b2=1

kpgkop=-1由直線方程点斜式得切线lp：

y-y0=-x0y0（x-x0）yy0+xx0=x02+y02yy0+xx0=r2这就是圆上一点的切线方程，这个形式很重要，其最主要的特点就是用点p（x0，y0）中的横纵坐标将圆上x2+y2=r2中x、y个换掉一个。

2.提高理解

求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程。

分析：只要我们将（x-a）2+（y-b）2=r2变换为"基础理解"中形式，就有"基础理解"的切线方程。

解：令x-a=X、y-b=Y

X2+Y2=r2

p（x0，y0）经过上述的平移得p′（X0，Y0）即过p′（X0，Y0）的切线方程XX0+YY0=r2所以过p（x0，y0）的切线方程（x+a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2。

3.迁移理解

求过椭圆x2a2+y2b2=1上一点p（x0，y0）的切线方程。

分析：先将椭圆方程转化为圆方程在应用"提高理解"写出椭圆上一点的切线方程。

解：令xa=s、yb=t则椭圆方程转化为s2+t2=1

p（x0，y0）转化为p′（s0，t0）（x0a=s0、y0b=t0）

过p′（s0，t0）的切线方程：ss0+tt0=1，所以过p（x0，y0）的切线方程：xagx0a+ybgy0b=1即xx0a2+yy0b2=1。

同理：（x-c）2a2+（y-d）2b2=1上一点p（x0，y0）的切线方程为：