三大中值定理和泰勒公式在一道题中的几种证明方法

刘立汉

摘 要：本文通过微分等式中一道经典题来举例说明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道题中的四种证明方法。

关键词：罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式

罗尔定理（见[1] [2] [3] [4] [5]）、拉格朗日中值定理（见[1] [2] [3] [4] [5]）、柯西中值定理（见[1] [2] [3] [4] [5]）和泰勒公式（見[1] [2] [3] [4] [5]）是沟通函数与其导函数之间的桥梁，在数学分析和高等数学等数学课程中有着广泛的应用。为此，本文通过微分等式中一道经典题来举例说明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道题中的四种证明方法。

例（见[6]）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内二阶可导，证明：至少存在一点 ，使得 .

证法一 由于对于固定的 和 ， 为常数，于是

而又由达布定理可知：至少存在一点 ，使得 ，从而结论得证。

参考文献：

[1] 李成章， 黄玉民， 数学分析（第二版， 上册）， 北京：科学出版社， 2007.

[2] 欧阳光中， 朱学炎， 金福临， 陈传璋， 数学分析（第三版，上册），北京：高等教育出版社， 2006.

[3] 彭立中，谭小江， 数学分析（第一册）， 北京：高等教育出版社， 2005.