在对比中深化概念的理解

卢清荣

在小学数学概念教学中，学习概念是一个过程，表象建立、符号表达、本质抽象、结构联系都需要学生经历形成过程并逐步理解，如果教师只注重形式而忽视本质，学生对概念的理解就会处于表面化，容易形成错误概念或造成概念不清的情况。应如何抓住概念本质，引导学生深度理解呢？

一、对比想象中凸显概念表象

师：老师带来一个“神器”——激光测距仪，它不但能发光，而且能测出光的长度。看，它发的光到哪儿了？

生：黑板。

师：从发射点到黑板上光点间有一条线，把这条光线画下来是什么图形？

生：线段。

师：线段有什么特征？

生：直直的，有两个端点。

师：激光测距仪上显示数据1？郾884米。说明这根线段的长度是——

生：有限长。

师：用激光测距仪发出光线射向远方，看不到尽头。请大家闭上眼睛想一下，如果“神器”有无限能量，发出的光线一直射向很远很远的地方，这是怎样的光线呢？

师：你们脑海中这条光线是什么样子的呢？请把它画下来。

生：直直的，一直伸向远方，连纸也装不下。

生：这是发射点，一直往前伸，就找到一个端点。

师：你觉得他们画的线有什么共同点？

生：都是直的，只有一个端点，可以无限延长。

师：像这样把线段的一端无限延长，就得到一条射线。它还能继续延长吗？

师：一直到黑板边了，还能延长吗？线段有限长，为什么射线无限长呢？

生：线段有第二个端点，射线没有第二个端点，可以无限长。

【赏析】心理学研究表明，儿童学习概念依赖于实物的直观可操作性，实物的外显特征与图形的本质特征一致时，操作就成为学生的思维材料，促进学生形成正确表象。线段是直线的一部分，射线是线段的一端无限延长，二者既相互独立又相互依存。张老师用“神器”再现两种线的不同特征：当“神器”发出的光从起点到终点（有始有终），这样直直的线就是线段；“神器”从发光点射向远方（有始无终），这样直直的线就是射线。認识射线的无限性是学生的认知难点，现实中物的具象都是有限长，要把“无限长”特征置于学生头脑中很不容易。张老师用“神器”帮助学生形成正确的认知表象，再借助图形，展开想象，促使学生在“感知—表象—想象”的过程中经历由具体到抽象。从数学角度思考，舍弃图例表象（光），抽象出图形表象（线）。从生活到数学，从感知到想象，从图例到图形，从有限到无限，这样设计符合学生的认识规律，有助于他们在对比中建构表象，使“直直的”“无限长”的射线特征得以凸显。

二、对比求异中凸显符号表达

师：如果把线段的两端都无限延长，那会怎样呢？大家闭上眼睛，想一想，再画下来。

师：根据画射线的经验，比一比这两位同学画的线，你更喜欢哪一条？

生：画到本子边，连纸都装不下。

生：只画一部分。

生：更喜欢短的，因为它的两边没有端点，没有端点就意味着可以无限延长。

师：尽管他没有画到边上，但同学们也能看出它可以无限延长，这样画既简洁又美观。

师：这样的线叫——

生：直线。

师：把线段两端都无限延长，就得到一条直线。

师：直线有什么特点？

生：两端没有端点，而且是直的。无限长。

师：是的。直线没有端点，而且是无限长。谁能画一条直线？

师：你觉得线段、射线和直线有什么相同点，又有什么不同点？

生：它们都是直的，但端点个数不同，射线和直线都是无限长，线段是有限长。

【赏析】在概念形成过程中，教师要目标明确地引导学生全面了解概念的内涵，使他们充分经历概念抽象的过程，促进学生真正理解概念的实质，看到符号就能联想符号所代表的概念的本质特征，有助于学生提高抽象能力和推理能力。反之，如果只从形式上认识符号，而不懂符号的本质含义，学生对概念的学习就会处于浅层次。学生在抽象直线的符号表达时，出现两种不同的画法：一种是用画到本子边表示直线无限长；另一种则画得很短，但用没有端点表示它的无限长。两种符号表达直线“无限长”特征的方式不同，张老师及时抓住生成资源，引导学生分析是用“画满装不下”的外显形式反映特征，还是用“线无端点”来表示它的无限性。其实，两种不同的画法都能正确反映学生对射线“无限长”特征的理解，“画满纸装不下”反映了学生思维还处于具象阶段，是外部环境反映特征；用“线无端点”的形式反映“无限长”，是学生对符号意义表达的真正理解，学生在深刻体会端点作用的情况下，弄清线段、射线和直线的区别——端点个数不同。张老师能抓住学生课堂生成资源，组织学生对比和辨识符号表达的实际意义，凸显符号的概括性和简洁性。

三、对比求同中凸显概念本质

师：直线有什么价值呢？你们能从生活中找到直线吗？

生：黑板的一条边是直线。

生：黑板边有限长是线段。

……

师：老师不为难大家了，在我们生活中要是想看到直线还真不容易，但直线的价值可以在解决问题中有所体会。

师：直线上的点可以表示数（图1）。看到0、1、2、3，你觉得后面的点应该是——

生：4。

师：你觉得5在哪里？指一指。

师：10应该写在哪里？

生：10已经到屏幕外面了。

师：你肯定这个10依然在——

生：在这条直线上。

师：在这条直线上能找到100吗？（能）

师：这条直线上能找到1000、10000、100000000吗？（能）

师：在这条直线上能找到最大的数吗？（不能）为什么？

生：因为直线无限长，在上面找到的数也是无限大的。

【赏析】《义务教育数学课程标准（2011）》指出，为了适应时代发展的要求以及对人才培养的需要，数学教学要注重发展学生的应用意识和创新意识。直线在现实世界中是“虚拟”的，应用意识难以体现。张老师先让学生到生活中寻找直线。学生边找、边质疑、边否认，好奇心驱使他们尽快找到答案。于是，张老师引导学生经历“线上找数”的活动——学生先经历形式化看得见的“线上找数”过程，感知线与数的一一对应关系，再经历意象化的“更大的数想象更长的线”的抽象过程，以具体无限大数想象与之对应无限长的线，数形结合，相得益彰。学生在对比求同活动中观察、分析和比较，归纳出“数是无限大，直线无限长”的共同特征，借助数形结合的方法深化了其对直线本质特征的认识。

四、对比变化中凸显结构联系

师：经过一点可以画多少条直线？

生：无数条。

师：请你经过这条直线上的一点，再画出两条不同方向的直線。

师：在图中还看到了什么图形？

生：角。

师：人们研究这两条直线相交的不同情况时就想到研究角，大家请听——

课件录音：经过一点的两条不同直线，有无数种位置关系。为了表示它们不同的位置关系，人们想到了研究角，当其中一个角的大小确定了，两条直线位置关系也就确定了。

师：关于角，我们以前就认识了，老师请大家自学例2的所有内容，看一看，你对角又有什么新的认识？

生：从一点引出两条射线组成角。

师：谁能边画边给大家介绍一下？

学生一边画一边讲角的顶点和角的两条边。

师：角的两条边其实就是——

生：两条射线。

【赏析】为什么要把角安排在这里让学生学习，这是一线教师常有的困惑。角的知识在这里的学习到底体现了知识间怎样的逻辑关系呢？张老师从点发展到画线，在无数条线中确立两条有代表性的线组成角，而角的大小确定两线相交的位置关系。张老师能够理清知识间的前后联系，把角的概念学习置于知识的整体结构体系中，使学生在对比变化中理清知识间的脉络关系。弄清知识间的联系和发展，从而有效促进学生形成整体的知识链。如果学生能长期学习这些有结构的知识链，就会在不经意间产生对数学知识结构的积极认知与内化，并在头脑里形成相应的数学认知结构，从而形成良好的数学学习能力。

张老师抓住知识的本质特征，从知识整体结构体系把握概念，引导学生经历概念表象、符号、本质特征、结构联系的学习过程，在观察、对比和分析中内化概念间相互联系，培养学生的认知能力，促进学生在有效对比中深化概念理解。

（作者单位：江苏省睢宁县实验小学 责任编辑：王彬）