两种群相互竞争的SEIQV传染病模型稳定性分析

杨国松

摘要：随着我国经济的发展以及社会的进步，使得我国的社会民众逐渐开始注重自身的健康。而传染病的出现对社会民众的身体健康造成了极大的威胁，为此，需要相关的技术人员加强对于传染病的研究以及分析。本文基于此，对两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性进行分析和探讨。

关键词：竞争系统；传染病模型；平衡点；稳定性

传染病作为一种由各种病原体引起的，能在人类社会进行广泛传播的疾病，其在产生的过程中对于人类的身体健康以及社会秩序造成了较大的负面影响。近年来，随着SARS、AIDS以及禽流感等传染病的出现，并对社会发展以及人类自身的健康造成了巨大的破坏之后，社会各界逐渐将关注的焦点放在了传染病的研究以及防治上。事实上，自从上世纪初，Kermark以及Mekendrick首次建立了传染病模型之后，越来越多的医疗研究人员会借助模型对传染病进行相关的分析。本文基于此，分析研讨两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性。

1 建立传染病模型

在进行两种群相互竞争的SEIQV传染病的稳定性的相关研究过程中，需要专业人士构建起相配套的传染病模型，从而促进相关分析作业的有序开展。在建立传染病模型的过程中，笔者将所需的两个研究的种群各分为五个类别，其分别是：易感者群体、潜伏者群体、染病者群体、隔离者群体以及恢复者群体，在模型分析过程中，其以此对应下述的字母表示：分S（t）、E（t）、I（t）、Q（t）、V（t）。其次，为了方便数学模型的建立以及分析，笔者做以下假设：①新出生者均为易感者；②潜伏者不具有传染性；③恢复者拥有永久免疫力。

此后，在上述的基础之上，笔者构建出了相关的数学模型，具体内容见图1。其中，Si（t）、Ei（t）、Ii（t）、Qi（t）以及Vi（t）分别表示在t时刻时，种群i中各类群体的数量。事实上，该数学模型通过简化计算，可以转变为图2所反应的相关数据模型。在该模型之中，其可行域为Ω={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∈R+10∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2}。

2 数据模型分析

在对数据模型进行分析的过程中，笔者引用了二维竞争系统进行分析操作。基于此，笔者得出了相关的结论。

2.1当Ψ2<Φ<Ψ1时（Φ=r1/r2；Ψ1=r1/nK1；Ψ2=mK2/r2；r1、r2指的是种群1、2中患有传染病人员的恢复了；k1、k2表示的则是种群1、2的环境容纳量；m、n则是上述两个种群之间的竞争系数），二维竞争系统中将会出现O、P、Q、M四个平衡点，而在这四个平衡点中，只有M为内部平衡点。此外，该系统在区域Ω={（N1，N2）T∣0

2.2当Ψ2>Φ>Ψ1时，二维系统中的四个平衡点（O、P、Q、M）中，M点为鞍点，而Q点则在Ω1的区域范围之间逐渐呈现出稳定的状态，而P点则是在Ω2的区域范围之内渐趋稳定。关于该种情况下的平衡点所反应的数据图，笔者进行了总结以及绘制，其具体内容见图3。

2.3当Φ>max{Ψ1，Ψ2}时，二维竞争系统中只出现了三个平衡点（O、P、Q）。在这三个平衡点之中，只有P点在区域Ω的范围内逐渐趋于稳定的状态。四是当Φ

2.4当Φ

在对平衡点的存在性进行了分析之后，接下来笔者需要对稳定性进行进一步的分析以及确认。

当Ψ2<Φ<Ψ1时，且R2≤1时，平衡点P1在区域Ω1={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2，（N1，N2）T∈Ω1}中渐入稳定状态。而当Ψ2>Φ>Ψ1且R2>1时，平衡点P2在区域Ω2中是整体趋向于稳定的。但是当Φ0}中趋向稳定。

此外，当Ψ1<Φ<Ψ2且R1≤1的情况下，平衡点P3往往会在Ω5={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2，（N1，N2）T∈Ω2}中逐渐呈现出趋于稳定的状态。但是在Ψ1<Φ<Ψ2且R1>1的情况之下，平衡点P4会在区域Ω6中逐渐呈现出稳定的状态。而Φ>max{Ψ1，Ψ2}且R1≤1的状况之下，平衡点P3会在区域Ω7中呈现出平稳的状态。

3 讨论

通过建立相关的模型以及上述的分析可以得知：在一定的条件之下，两个种群之间不存在相互交叉传染的状态之下，传染疾病往往会逐渐消亡；但是若这两个种群之间出现交叉传染的状况，那么传染疾病会因此而逐渐流行起来。基于这一理论的得出，笔者认为，为了对传染疾病进行有效的控制，需要相关的医务科技人员加强对于不同种群之间的交叉传染，促进人类自身的健康以及社会秩序的稳定，而只有采取了相关的防护措施，才能够在最大程度上促进我国医学事业的发展，并由此在最大程度上实现了对于传染疾病的控制，促进了相关社会效益的取得。

4 结论

本文主要构建了两种群相互竞争的SEIQV传染病的模型，并对模型中平衡点的存在性以及稳定性进行了分析和研究，最后又根据相关的分析总结出了结论。通过上文的分析，笔者认为：为了对传染疾病进行有效的控制，需要我国的医务科技人员在实际的工作过程中加强对于不同种群之间的交叉传染，从而实现人类自身的健康以及社会秩序的稳定。促进相关的经济效益以及社會效益的取得。

参考文献：

[1]周文，侯高梅.两种群相互竞争的具有脉冲接种的SEIR传染病模型[J].安庆师范学院学报（自科版），2015，21（4）：7-11.

[2]侯高梅，周文，瞿佳.两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性分析[J].宁夏大学学报（自然版），2016，37（3）：257-263.

[3]陈晓鹰，唐晓文，唐燕贞.相互竞争的两种群中具有饱和传染率的SIRS模型的稳定性分析[J].佳木斯大学学报（自然科学版），2010，28（5）：796-800.

[4]宋运娜，腾辉，吴红梅，等.两种群相互竞争的具有垂直传染的SIS传染病模型[J].高师理科学刊，2012，32（4）：25-29.

[5]高磊，杨燕，贺军州，等.互惠-寄生耦合系统的稳定性[J].生态学报，2012，（21）：6848-6855.

[6]刘咏梅，彭琳，赵振军.基于Lotka-Volterra的微博谣言事件演进分析[J].情报杂志，2013（11）：110-116.

编辑/安桦