圆锥曲线切线的一条性质再探

北京市陈经纶中学 (100020) 张留杰 孙丕训

圆锥曲线切线的一条性质再探

北京市陈经纶中学 (100020) 张留杰 孙丕训

文[1]中结合一道试题探究了过椭圆(双曲线)外一点所引的两条切线的一条性质，并且仅仅局限于焦点在x轴的情况下，我们发现对于焦点在y轴时，相应结论也是正确的，所以可以将文[1]的结论改进如下：

我们发现此优美结论与点M密不可分，即它在曲线W的一条对称轴(y轴)上，如果直线AB与x轴相交于点N，那么k1、k2和直线PN的斜率k′会有何种关系呢？

经过探究，我们得出

结论2 过中心在原点、焦点在坐标轴上的有心圆锥曲线W外一点P引两切线PA、PB，切点弦AB所在直线与x轴交于点N，当直线PA、PB、PN的斜率存在且不为零时，设它们的斜率分别为k1、k2、k′，则k1+k2=2k′．

下面以椭圆为例进行证明，如图1．

图1

同理，在双曲线中，也不难证明该结论成立．

由结论1和结论2，我们不难得出关于椭圆和双曲线切线的一个性质定理：

能否将此定理的结论推广到抛物线呢？

由于抛物线可以看作是“另一顶点在无穷远点”的椭圆，所以抛物线的另一条对称轴也可以认为在无穷远处，于是过抛物线外一点引两条切线PA、PB，切点弦AB所在直线与另一条对称轴的交点M(或N)就在无穷远点，所以PM(或PN)应该与AB平行，其斜率k0(或k′)等于直线AB的斜率k．于是我们得出如下定理：

定理2 过顶点在原点的抛物线W外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与抛物线的对称轴交于点M，设切线PA、PB的斜率分别为k1、k2，直线AB的斜率为k，直线PM的斜率为k0，当k1、k2、k、k0均不为零时．

下面以对称轴为x轴的抛物线为例进行证明．

图2 图3

[1]刘宜兵，廖 华.一道高三调研试题的结论推广[J].中学数学研究(江西)，2016,7.