一道向量习题的推广及应用

内蒙古师范大学附属中学 (010020) 王洪军

一道向量习题的推广及应用

内蒙古师范大学附属中学 (010020) 王洪军

1 提出问题

上面的题目是笔者所带高三年级的一道测试题，从试卷反馈的结果来看，题目的得分率不高，在与学生交流的过程中发现大部分同学无法确定点O的具体位置，因此也就无法得知两三角形面积之间的关系.笔者通过研究上述问题，推广出一个一般化的定理，发现这个定理在很多复杂问题中也有广泛的应用，现整理成文，与读者分享.

2 归纳一般结论

图1

证明：(ⅰ)若x,y,z均为正数，则点O在ΔABC的内部，不妨以图1为例来证明，其他情况类似可证.

(ⅱ)若x,y,z中恰有一个负数，则点O在ΔABC的外部，不妨以图2为例来证明，其他情况类似可证.

图2

若x,y,z中至少有两个负数，则可以通过移项转化为上述两种情况，因此，上述定理得证.

合理利用所得定理，可以使问题的解答得到简化，下面列举几个例子来展现定理的精彩应用.

3 应用举例

例1 已知点O为ΔABC所在平面内一点，且

由定理可知SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=1∶2∶2，因此，SΔAOB∶SΔABC=1∶5.

图3