变“封闭”为“开放”，让探究更精彩

浙江省绍兴市柯桥区财经学校 (312000) 韩红芳

变“封闭”为“开放”，让探究更精彩

浙江省绍兴市柯桥区财经学校 (312000) 韩红芳

1．问题的提出

近日，笔者担任了学校高三年级数学期中试卷的命题工作.其中，填空题的最后一题系一个高考题的第(Ⅰ)问改变而成.原题是呈现了结论的一个“封闭”题，现设计成一个“开放”型填空题.从阅卷反馈看，学生的得分很不理想.以笔者所任教的两个班(共103人)为例，只有4个学生给出了正确答案是①④，其余学生的答案几乎都是①②.面对这个略显意外的结果，笔者决定利用试卷讲评的机会，花一堂课时间，和学生做一番探究.

(Ⅰ)当x∈(0,x1)时，证明x

2．探究实录

课堂上，教师先不告诉学生正确的答案，而是请选①②的一位学生来讲讲自己的解法.

图1

生1：采用数形结合的方法.具体是：方程f(x)=x有两根，可转化为抛物线y=f(x)与直线y=x有两个交点，如图1所示.从图形中很容易看出：当0x且f(x)>f(x1)=x1，故选①②.

话音一落，不少学生都附和着说：是这样啊，“秒杀”！见状，教师仍不动声色，只是就学生能运用函数与方程、数形结合的思想方法来解题，表示认同与赞赏.接着，

请选①④的一位学生来谈谈自己的解法.

生2：一开始，我也是这样想的，但发现有个问题：

转而想到解填空题的一个好方法，即用特殊值法来求.

师：很好，面对这两个不同的解法结果，大家怎么看？

经讨论，学生达成下列一致意见：首先，结论①肯定是对的，因为无论直线与抛物线如何相交，在x∈(0,x1)上，抛物线必在直线的上方.其次，借特殊函数检验可知结论②一定错误，即图1是错误的.第三，用特殊函数检验也不能保证结论④一定正确，还需给出一般的推理论证.现先给出结论④的证明.

接下来，学生感兴趣的是：如何正确画出抛物线与直线的位置图形？

图2

由结论f(x)

据此，学生又提出值得证明的两个代数结论：

最后，师生共同归纳：上述填空题的本意是突出考查代数推理与运算能力，编制时基本“堵死”了“借图说话”这条路，即正确图形的得到完全依赖于“以数助形”.因此，在解决与函数有关的问题时，我们要重视几何直观，但也不能过分依赖直观，要把形的直观和数的精密结合起来，才能更深刻、更有效地解决问题.

3．反思

基于上述探究，给我们的启发是：

3.1 变“封闭”为“开放”，让探究更精彩

探究学习能否富有成效地开展，一个很重要的原因是选取适宜的探究问题.而将“封闭题”改为“开放题”，就是一个不错的选择.理由是：面对“封闭题”，学生的状态是“要么会要么不会”；而面对“开放题”，学生的想法就多了，哪怕这些想法不够成熟、甚至是错误的都不重要，重要的是学生的学习会变得更主动、更有趣味，从中提出值得研究和感兴趣的问题也变成可能.总之，将“封闭题”改变为“开放题”，是引导学生展开探究性学习的一个有效举措，值得我们在教学实践中不断尝试、探索与完善.

3.2 让课堂“慢下来”，让讲评更高效

在高三的复习课，特别是试卷讲评课上，很多教师都会采用分析解题思路、讲解解答过程的“教师一言堂”授课模式.这样的课堂容量大、节奏快，看似效率挺高，但实际上学生更多的只是走马观花、疲于应付、浅尝辄止，效果可想而知.日本教育学者佐藤学说过，教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀下一些有用的东西.因此，在教学过程中，教师应该让课堂“慢下来”，尊重学生的认知规律，留给学生足够的时间去探究、交流、反思、体悟.唯有如此，学生方能将教师的“外力”真正转化为自己的“内功”，不再发出“老师讲的都能听懂，自己做题还是不会”的感叹.

3.3 代数推理能力应常抓不懈

从填空题测试结果看，学生的确存在一个“软肋”：运算与推理能力较薄弱.原因是：在义务教育阶段，数学教学并没有按照数学的公理化结构组织教学内容，部分定理作为公理使用(教学公理)，一些结论(包括定理、公式等)由图形直觉或通过归纳方式就直接确认了.这种处理方式在降低学习难度方面确实非常必要，却也使学生忽略、无视甚至误解了数学推理特征和数学的严谨性要求.同时，义务教育阶段的数学学习也大大降低了数式运算的要求，使得学生的代数式运算能力较低，面对稍稍繁难的运算，有较大的抵触与畏难情绪.所有这一切表明，高中数学一定要特别重视与加强运算与推理能力的培养，就学生而言，一定要让他们明白：学会运算和推理是高中数学学习的两大基本任务，也是今后高考取得好成绩的保证.