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连续型随机变量函数分布的探讨

2017-03-16陈晓

山东工业技术 2017年5期
关键词:应用

摘 要:随机变量的分布函数在现实生活中有着非常多的运用,与其分布相关的研究同样是大部分教材重要的组成内容。往往计算机变量函数分布能够采取公式法又或是分布函数法,正常状况下,公式法所需具备的条件非常的严格。本文对连续型随机变量函数分布进行较为深入的研究。

关键词:连续型随机变量;分布函数;应用

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.05.218

1 连续型随机变量中的“连续”界定

连续型随机变量与离散型随机变量是完全不同的,经过其所存在的取值点集特点来概括,运用全新的工具分布F(x)函数来对其进行界定,也就是如果X的分布函数都可以写为某一非负函数f(x)的变上限积分模式,便将它叫做连续型随机变量。

(1)性质1 针对连续型随机变量X存在:

a.

b.。

根据以上所阐述的特性能够发现,连续型随机变量大都是探讨相互持续的点集中的取值概率,比如:区间[c,d]等,它的某个固定点位置处的概率是0。换而言之,连续型随机变量所分析的是各式各样的有限区间、数轴以及半数轴等。

但是,若果取值点集是半数轴、有限区间、数轴以及并集的随机变量,

其并非一定是连续型,比如:。其同样是没有办法

采取连续型随机变量全部的能够进行取值的点集的特点来实施概括。

(2)性质2 对于连续型随机变量X,如果f(x),F(x)所代表的是密度函数以及分布函数,那么便存在:

a.f(x)≥0;b.;c.f(x)=F′(x),在f(x)的连续点便成立。

较为显著的是,f(x)在XOY坐标平面中所对应的的图像,处在X轴以及它上方的一个曲线,同时此曲线和X轴间区域的面积是1。然而f(x)并不能确定为(-∞,+∞)区间内的连续函数,同时其所有不连续点均是单独存在的、数量有限的点集,然而从其主体层面依然是分段式的连续函数,同时在f(x)的连续点处的F(x)可导。此处补充说明的是,性质2中所列出的a、b均是f(x)能够成为连续型随机变量函数的充要条件。

(3)根据高等数学相关理论能够得知,变上限积分函数F(x)一定是(-∞,+∞)区间内的连续函数。针对普通性的分布函数仅仅需要其达到右连续,例如:连续型随机变量对应的分布函数是全部连续的,换而言之,连续型随机变量的概率累积实渐渐积累的,并未产生跳跃式的增长。其同样是连续型随机变量最为主要的“连续”特点,然而并不能说明分布函数为连续函数,其所对应的随机变量必然是连续型的。

2 连续型随机函数分布的计算方法

2.1 复合函数单调

定理1 假定随机变量X存在着概率密度函数fx(x),fx(x)在区间(a,b)内不可能为0,函数g(x)处处可导同时始终存在(又或是始终存在),那么Y=g(X)便为连续型随机变量,同时,其间:α=min(g(a),g(b));β=max(g(a),

g(b));h(y)为g(x)的反函数。

2.2 复合函数分段单调

定理2 假定随机变量X的概率密度函数为fx(x),同时fx(x)在区间(a,b)范围内等于0,函数g(x)在(a,b) 的不重复的子区间I1,I2,...中逐段的严格单调,其所对应的反函数分别是h1(y),h2(y),...,同时,都是连续函数,那么Y=g(X)便为连续型随机变量,同时其所对应的概率密度函数是

,其间:α=min(g(a),

g(b));β=max(g(a),g(b))。

3 连续型随机变量分布函数的部分性质与证明

无论X是连续型的又或是离散型的随机变量,其所对应的的分布函数F(x)都有以下的基本性质:1,2,3

性质1 单调性:F(x)为(-∞,+∞)区间内的单调递增函数;

性质2 有界性:0≤F(x)≤1,且

性质3 右连续性:F(x+0)=F(x)。

性质4 如果随机变量X为连续型,F(x)所代表的是其对应的分布函数,那么Y=F(x)满足[0,l]区间为的均匀分布。

证明 假定p(x)代表的是随机变量x的密度函数,PY(y)所代表的是随机变量Y=F(x)对应的密度函数,那么便会有F`(x)=P(x)。因为y=F(x)是(-∞,+∞)区间内的单调递增函数,所以F(x)在(-∞,+∞)区间内有着相应的反函数,假定该反函数是,0≤y≤1,那么:

当y<0或y>1时,PY(y)=0;

当0≤y≤1时,

求导,得:

根据以上所述,Y=F(X)的密度函数是

因此,Y=F(X)满足[0,1]区间内的均匀分布。

性质5 如果随机变量X为连续型,F(x)所代表的是分布函数,F(x)在[a,b]区间内连续并且严格单调,(此處的a能够为-∞,b能够为+∞),那么同分布,其间U满足[0,l]区间内的均匀分布。此处是F(.)所对应的反函数。

证明 假设其密度函数是,因为F(x)在[a,b]区

间内连续并且严格单调递增,因此假定其所对应的的反函数是,此处0≤y≤1,假设所对应的密度函

数是PY(y)。根据U的密度函数能够得知:

当y<0或y>1时,PY(y)=0;

当0≤y≤1时,

求导,得:

当a为-∞,b为+∞的时候,以上结论同样成立。能够得知,和X同分布。

参考文献:

[1]李寿贵,余胜春.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2011.

[2]欧俊豪,王家生,徐漪萍等.应用概率统计[M].天津:天津大学出版社,1999.

[3]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2001.

作者简介:陈晓(1982-),女,河南济源人,本科,助教,研究方向:应用数学。

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