APOS理论指导下的小学方程概念教学研究

林庭旭

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

APOS理论指导下的小学方程概念教学研究

林庭旭

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

方程知识是小学阶段一个重要的学习内容，在小学阶段开设有关方程知识的课程对学生的学习有着深远的意义。对于小学阶段的简易方程学习，我们可以将解题过程化繁为简，在学习方程的过程中，学生会积累很多关于列方程、解方程的方法。但是，在方程的历史起源、发展演化等方面却了解甚少，这就会引起学生对方程源起的困惑、方程思想方法的质疑，久而久之就会对学生学习方程知识产生一定的影响。所以，数学方程的历史文化教学也是值得关注的热点问题。

APOS理论，数学概念，方程

一、现阶段方程概念教学形式

现阶段，小学数学教材(北师大版)中明确地界定了“方程”的概念，指出“含有未知数的等式叫作方程”。对于这样的教材编排体系，大多数教师会选择使用概念同化的教学形式进行教学。主要有四个步骤，首先，揭示对象概念的本质及其属性，同时给出定义、符号、名称等相关联的知识；其次，进行目标概念的严格分类，按照概念的本质属性进行分类，同时概括其概念的外延；第三，对目标概念进行系统巩固，通过利用目标概念的定义去进行简单的识别活动，以达到预期的目的；最后，进行目标概念的应用，用于实际问题的解决等，同时建立起与其他概念的联系，体现其关联性的特点。这种教学形式简明扼要，学生容易接受，同时也可以更加直观地学习其他的相关概念。但是，这种教学形式偏重逻辑结构的教学方式，忽视了学生对概念本身的理解。

二、APOS理论

APOS理论是由美国著名数学教育学家杜宾斯基提出的，有学者称，APOS理论就是对皮亚杰反思性抽象的一种进一步的扩展，其中的四个字母分别表示理解相关数学概念的四个阶段。

第一阶段，A——Action,就是“活动”阶段，也叫做操作阶段。一个反省抽象的过程是某类数学概念形成的标志及条件，而被反省的对象就是活动，它是基础。活动主要是指个体对所感知的对象的一种转换，“对象”是指一种来自外部的某种刺激。这里所说的“活动”必须对其进行广义的解释，它不一定是某种具体的运算程序，也有可能是一种数学操作，所以不必有明确的既定算法。

第二阶段，P——Process,是指“程序”阶段，顾名思义就是不断地重复某一种活动，当学生对某种活动进行不断重复操作时，在个体头脑中就会产生一种“印象”，而当“活动”经过多次的重复被个体熟悉之后，就可以内化为一种叫做“程序”的心理操作，有了这种“程序”，个体就可以不需要经过某种外部的刺激而本能地想象这个“活动”，目标个体就可以在头脑中实施这个程序，不需要任何其他的具体操作，进而还可以对这个程序进行逆转或者与其他程序进行组合。

第三阶段，O——Object，指的是“对象”阶段，目标概念发展到对象阶段，就已经不是程序、算法的步骤了，而是一种结构、抽象的整体，一种共时的形态。这时，在学生头脑中就形成了对概念的一个完整的理解。

第四阶段，S——Schema,就是指“图式”阶段，也可以称为图式结构。一个数学概念的图式，简单来说就是在个体头脑中形成的一种认知框架，它可以用于解决实际问题或者与这个概念相关的问题，从这个角度上看，APOS理论中“图式”阶段有些类似韬尔的“概念意象”。

三、基于APOS理论的方程概念的教学

第一阶段——活动阶段，理解一元一次方程的概念首先需要进行活动或者是操作。例如，在现实背景下，要求学生建立一种方程关系：y=3x+2，需要学生通过利用具体的数字去构造一一对应的关系，1→5，2→8，3→11，4→14,通过这种操作，使学生真正地理解方程的意义。学生在接触方程知识之前，老师传授的都是算数方法，因此，学生对方程的概念理解起来难免有些吃力，所以我们举的一些例子应该是通俗易懂的，能够让学生结合实际进行思考，充分利用学生头脑中已有的知识、经验，培养学生的数学思维在各个空间维度之间不停转变，这是一种认知层面的飞跃。争取在这一阶段，使学生很好地完成从常量到变量的过渡。活动阶段也可以说是操作阶段，类似观察，使学生在个体的头脑当中，呈现出一元一次方程的原始概念阶段，为下一步的深入学习打下坚实的基础。

第二阶段——程序阶段。例如圆的周长与半径的关系，学生不难看出圆的周长随着半径的变化而发生相应的变化，但是，这仅仅是停留在前面的阶段一，即认知阶段，但是在这一阶段，学生们需要关注的是两者之间的关系，上面这个例子涉及到了两个变量，学生要做到真正体会两个变量之间的相互性，同时也要认识到两个变量在同一个系统中同时变化的这种相互协调性。学生对于这些感性认识的积累逐步内化成了自己的“程序”系统，逐渐改变原来已有的算数思维的固定模式。这种相互联系、相互制约、相互协调的规律呈现出了方程概念在学生的头脑中形成的过程。同时，学生还可以通过自己举例子，把方程的概念具体化，利用数形结合的方法进行分析，让一直被学生认为是抽象的方程概念转化成简单易懂的直观对象，从而感受方程中变量的变化过程的关系。这样，方程概念在学生的头脑中就会变得很清晰、实在，最终获得必要的理解、感知。

第三阶段——对象阶段。学生经过上面的两个阶段之后，对一元一次方程概念的理解已经形成了一个相对独立的对象了。这时，学生通过应用之前已经学过的知识，加深理解未知数、等式、对应关系等概念。运用方程的观点和方法去处理一些生活中的实际问题，将会有更深层次的理解。在研究方程的表示法时，学生可以从已经学过的图像法、列表法等方法着手。事实上，方程就是一个利用已知求未知的过程。现在很多教师会要求学生在课堂上大声朗读方程的概念，然后会进行相应的提问，如果没有正确背出来就会受到相应的惩罚，直到完全背会为止，这种教学方式过于死板，并不会达到理想的效果。方程概念的建立需要经过多次的反复、循序渐进来完成，不能要求学生马上就理解，过快的抽象过程会使大部分学生不能真正理解一元一次方程的概念，只能去死记硬背，这样会事倍功半了。所以，要循序渐进地对学生进行方程知识的传授。

第四阶段——图式阶段。经过大量的调查研究显示，很少一部分学生能达到这个阶段，这个图式阶段对学生的要求非常高，学生很难达到这个阶段也是情有可原的。一元一次方程的概念并不是一个孤立的个体，而是与其他数学概念紧密联系在一起的。方程概念的建立是需要通过长期的活动来逐渐完善的。学生可以通过建立最初的方程概念的模型，接着与后面其他数学内容的学习联系起来，形成一个知识串，这样建立起与其他数学概念、规则、图形等的联系，逐渐在学生个体的头脑中形成综合性的心理图式，从而把对方程概念的理解上升到一个更高的层次。

通过以上四个阶段的学习，学生就会对方程的概念及相关的知识有一个更深层次的理解与感悟，对方程的概念形成较为完整的认识，这样学生掌握的也比较牢固。这四个阶段是一个相互影响、相互制约、相互协调的整体，是不可分割的，不能割裂开去片面地看待。

四、总结

方程的概念是一个不断发展、不断完善的数学概念，从不同的角度去看，会得到不同形式的概念。在小学阶段，考虑到小学生的思维结构及认知结构，方程的相关内容主要安排了三大部分，分为字母表示数、等量关系及方程这三个章节内容。这样，依据学生的心理发展的特点，逐步对学生展开方程相关知识的教学，让学生逐步理解方程的概念，为以后初中及高中方程、函数的学习打下一定的基础。APOS理论不仅能够指导学生如何开展数学概念的学习，同时也指出，在教师安排下的一些学习任务，需要在学生的身上产生这几种心理的建构过程，这样，我们就可以初步认定学生已经掌握、理解了这个数学对象的概念。不仅为数学教师提供了如何指导学生进行数学概念的学习，同时教师也可以根据这一经验或工具，制定系统的数学概念课教学目标及教学策略，并安排相应的教学相关活动。APOS 理论也可以作为一种教学评价的工具对学生的学习结果进行相应的评价，同时也可以根据这一理论对学生进行学习现象的相关层次的分类。不仅要观察学生在数学概念建构中的具体表现情况，来确定学生学习概念的水平具体达到了哪一个层面，还要有教师同时根据学生在数学学习中表现出来的种种现象及时作出相应的调整，以便形成完善的教学策略及教学方法，这样更能进行有效的数学教学。

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〔责任编辑：李海波〕

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.041

2016-11-04

林庭旭(1993—)，女，辽宁营口人。

G623.5

1008-6714(2017)01-0087-02