星空中的N体问题（下）

陈厚尊

1772年，法国著名数学家、物理学家约瑟夫·拉格朗日在一篇论文中首次利用自己建立的分析力学理论，尝试求解了一类简化的三体模型，即所谓的“平面限制性三体问题”。这里的“平面”指的是三个星体的运动被固定在同一平面上。考虑到太阳系各大行星的共面性，这个假设是有实际意义的。“限制性”指的是其中一个星体的质量同另外两个星体相比可忽略不计。如此一来，两个大质量的星体就构成了一个普通的二体系统，小质量星体同时受到两个大星体的引力牵引。拉格朗日的研究表明，对小质量星体而言，二体系统中有5个位置颇为特殊的点，它们都是该系统的平衡点，或者称为不动点，小质量星体在这里不会感受到外力。后人将这5个点命名为“拉格朗日点”。

从力学稳定性上看，前三个拉格朗日点在垂直于二体连线的方向上是不稳定的（图中的红色箭头）。这就如同一座倒置的金字塔，虽然理论上成立，可是任何微小的扰动都会被放大，导致不可逆的位置偏离。后两个拉格朗日点的所有方向都是力学稳定的，除非受到足够的外部影响，否则只能在平衡点附近振荡。在太阳系里，木星是八大行星中体积和质量最大的，所以日木系统的拉格朗日点相对特殊一些。遗憾的是，受限于当时的观测能力，拉格朗日的三体理论一直没能得到观测上的支持，许多人觉得这也许只是纸上谈兵的纯理论游戏。直到1906年2月，德国天文

学家马克斯·沃尔夫在木星轨道上超前于木星位置60°附近发现了第588号小行星（沃尔夫以希腊英雄阿喀琉斯的名字命名它），这才证明了拉格朗日点的真实存在。

自进入航天时代以来，日地系统的拉格朗日点越来越受到重视，尤其是L1点和L2点。相较于普通的人造卫星轨道，前者能摆脱地球运动方向的干扰，尤其利于太阳的观测;后者能摆脱太阳和地球的电磁波干扰，尤其利于深空目标的观测。虽然从理论上来说，前两个拉格朗日点都是不稳定的，可实际情况中，航天器受扰动飘离平衡点所需的时标比较长。在此期间，只要航天器及时校正轨道，就能在L1点和L2点长期驻留。另外，针对前两个拉格朗日点存在的日凌干扰问题，NASA的轨道设计专家罗伯特·法库爾设计出一种围绕拉格朗日点做圆周运动的晕轨道。目前，欧空局和NASA共同研制的SOHO卫星就运行在日地系统L 1点的一个晕轨道上。2018年10月，日地系统L2点的晕轨道将迎来哈勃空间望远镜的继任者：詹姆斯·韦伯空间望远镜。

事实上，现实中能观察到的稳定的三体模式屈指可数。19世纪末期，三体问题进入纯理论研究范畴，动力学理论与天文学之间的关系似乎渐行渐远。可是谁也没有料到，多年以后三体问题竟会以一种全然不同的面孔重返现实。

瞥见混沌

《数学学报》是一本创刊于1882年的顶级数学期刊，由瑞典著名数学家米塔·列夫勒发起。在《数学学报》1885年—1886年第7卷上，有一则关于“奥斯卡国王奖”的通告。通告中说，数学家狄里克雷在去世前不久写给几何学家克罗内克的信中，称自己发现了一种能够对力学中的微分方程进行积分的方法。应用该方法，他能够严格给出太阳系的稳定性证明。遗憾的是，我们对此方法一无所知。为了庆祝挪威与瑞典国王奥斯卡二世的60岁生辰，杂志决定悬赏重新发现该方

法，并给出N体问题通解的第一人。

在当时，这一奖项的名声甚至超过今日的诺贝尔奖。布告发出后不久，数学界的研究重心就转向了N体问题，许多人都希望通过参加竞赛提升自身知名度。但是，最后只有5个人按时提交了论文，其中就包括庞加莱的那篇讨论三体问题的文章。尽管庞加莱的工作没能给出通告里期望的那个解答，但其结果依然非常重要，甚至可以说开启了天体力学的新纪元，庞加莱也因此获得了仅有的那一届“奥斯卡国王奖”。此后，该奖项便夭折了。否则，今天数学界的最高荣誉就不是菲尔兹奖了。

严格地讲，人们对混沌现象的认识始于庞加莱的这篇论文，虽然庞加莱本人从未意识到这一点，更不曾在论文中使用“混沌”这类字眼。19世纪后期，机械决定论的思想笼罩科学界，而且庞加莱骨子里的谦逊和蔼不允许他做出离经叛道的研究，否则，狭义相对论的提出者就不会是爱因斯坦了。在今天，“混沌”这个词被滥用于各行各业，只要是没有什么明显规律的行为，似乎都可以同混沌挂上钩。事实上，混沌现象是一类有明确定义的动力学行为，一个系统必须具备如下3条性质方可被称为混沌：①系统行为对初值敏感;②有密集的周期解;③至少存在一条填满相空间的轨道。依现代的观点看，庞加莱当年的论文实际上证明了“平面限制性三体系统”是一个混沌系统。

毫无疑问，庞加莱本人拒绝接受混沌现象的存在，他无法理解仅有三个质点的动力系统为什么会出现如此古怪的行为。在论文的最后一个部分，庞加莱实际上已经瞥见了三体系统的相空间所具有的怪异结构。他在论文里的措辞十分谨慎，他相信，N体问题的复杂性远在那个时代的数学研究水平之上。庞加莱希望今后的研究者能仔细筛查自己的研究对象，留意其中是否也存在与此类似的问题。富有戏剧性的是，经过一个多世纪的探究，人们最终证明混沌现象充斥于科学领域的方方面面，它与20世纪初建立起来的量子力学一道，彻底埋葬了机械决定论的哲学大厦。

N=3，4，5……8

在天文学上，拥有3颗及以上恒星的体系常被称为聚星系统。天文学家发现，这些聚星系统往往以二体系统为基础，自下而上逐级构成。例如，勾陈一系统的结构同半人马座三星类似，都是A、B两星近距离相互绕转，C星在外围绕A、B两星的质心运转。再比如五车二的四合星系统，它包含了两对双星体系：一对红巨星，一对红矮星，后者在10000天文单位外围绕前者缓慢运行。之所以会出现这种格局，一方面当然要归咎于二体系统本身的力学稳定性，但更重要的原因是，这样的格局也许是绝大多数N体系统最终的演化命运。

计算机的发明与使用是20世纪的一件大事，它将科学家从繁琐的计算中解脱出来，把更多的智慧用于对问题的全局把握。当然，并非每一個领域的研究者都会积极地拥抱新技术的到来。据说，普林斯顿高等研究院的许多数学家一度非常排斥计算机的使用。相较之下，在最渴望使用计算机的人群中，天文学家和天体力学家占了相当的比重。其中一些人把N体问题的数值算法编入计算机程序，于是，N体系统的数值模拟就成了某种具有消遣性质的数学游戏，枯燥的N体问题一下变得有趣起来。模拟的例子多了，规律自然就会显现出来。当然，严谨的数学论证还是少不了的，毕竟没人会把数值模拟当作可靠的证明。不可否认的是，数值模拟的结果确实会为研究者指明努力的方向。

其中一个有代表性的例子被称作“毕达哥拉斯问题”。这是一个平面三体问题，由雅克比的学生梅塞尔于1893年提出。问题是这样的：将质量比为3∶4∶5的三颗星体分别放置于毕达哥拉斯三角形（即边长比为3∶4∶5的直角三角形）的顶点，在初始时刻以静止释放它们，该系统在万有引力的作用下，最终的演化命运如何？梅塞尔和布鲁曾为此做过大量的计算，但没有取得有价值的结果。1966年，两个分别来自耶鲁大学和苏黎世联邦工业大学的研究小组，针对该问题分别编写了一组计算机模拟程序，得出的结果令人震惊：经过一段令人目眩的相互旋绕之后，忽然某一个瞬间，3颗星体变得异常接近，几乎要碰撞在一起;之后，两颗星体组成了一对紧密的双星系统，由此引发的弹弓效应将第3颗星体高速抛出。它获得的动能全部来自二体系统损失的引力势能。

在这个模型中，我们仿佛目睹了半人马座三星的诞生经过：在遥远的过去，南门二双星和比邻星也许是诞生在同一片星云里的三个恒星胚胎。在原恒星时代，它们也曾经历过令人目眩却稍纵即逝的“乱纪元”。之后的某个瞬间，3颗星抵达了碰撞的边缘，比邻星终于被弹弓效应高速抛出，形成了如今的局面。

将这个例子推而广之，恐怕就可以解释星空中聚星系统的奥秘了。

N=9

八大行星加上中心的太阳构成了一个九体系统。于是，我们再次回到太阳系的稳定性问题上来。

当然，这样的理解方法对问题的解决毫无助益。根据庞加莱的研究，我们不难猜测，太阳系的动力系统多半是混沌的，并没有理由认为矮行星和小行星的摄动作用可以被忽略。因此，太阳系的稳定性问题本质上是一个极端复杂的多体问题。即便如此，对八大行星、矮行星和绝大多数的小行星而言，椭圆轨道已是足够好的近似，纵然它们的轨道参数存在这样那样的长期变化，但其原因也能用大行星间的摄动理论一一解释。摄动作用确实会产生更高阶的近似项，不过，每一

项都可以用含有时间项的无穷级数去逼近，直到达到所需的精度。与此相关的所有力学理论，都被法国物理学家、数学家拉普拉斯系统地集成于他所著的5卷16册《天体力学》里。拉普拉斯在书中宣称，他证明了太阳系是长期稳定的，大行星间的一阶摄动效应不会随时间发生积累。后来，数学家泊松进一步证明二阶摄动效应同样不会积累。今天，我们知道，行星间的任意阶摄动效应都不会积累，只会产生有限的振荡项。可是，这个结论依然不具有说服力，因为当太阳系的演化时标被拉长至千万年的时候，混沌现象开始出现，情况也会随之发生一些变化。

1963年，数学家柯尔莫戈洛夫、阿诺德和莫泽共同提出并证明了著名的卡姆定理（定理的名字源于三个人姓名的首字母组合）。根据卡姆定理，确定系统与混沌系统之间并没有一道明确的分界线，而是存在一片广阔的过渡地带。幸运的是，太阳系的稳定性问题就位于卡姆定理所说的过渡地带上。该定理指出：只要太阳的质量在太阳系内占据主导地位，同时大行星的轨道偏心率e 和轨道倾角i 是小量，太阳系不稳定的概率就几乎是零。也就是说，我们可以认为太阳系几乎

是个稳定系统。不过，究竟何种量级才算是卡姆定理所说的小量，还有待进一步的探究。

N=100 000

接下来，让我们把星体的数目急速上调。当N抵达10万的时候，我们便进入了球状星团的世界。

据推测，银河系里约有200个球状星团。它们以银心为中心，在空间里呈球形均匀分布。目前已发现的系内球状星团约有150个，其余的都被银心遮挡，难以直接观测到。球状星团有两个明显特点。第一，形貌相似。无论是星系、星云，还是疏散星团，它们的外貌都十分多样化。可是，球状星团的模样似乎都差不多，恒星密度都是中心大外围小，呈规则的球形分布。第二，球状星团普遍很古老，有的年龄甚至超过了130亿岁（宇宙的年龄为137亿年）。根据以上两点，从天体力学的角度看，可以判定球状星团是一种异常稳定的多体结构。至于为何如此，目前还只有

一些定性的理解，没有定量的证明。

N=100 000 000 000

让我们继续疯狂上调星体的数目，直至抵达千亿量级。在这里，我们又碰到了另一大类稳定的多体结构：星系。与球状星团不同的是，星系的形貌多种多样。美国天文学家埃德温·哈勃曾对星系做了大量的观测，于1926年提出一种按形态划分星系的分类系统，之后不断完善，于20世纪50年代完成了著名的哈勃分类。哈勃分类里将星系归为4大类：椭圆星系、旋涡星系、棒旋星系和不规则星系。

说起对星系形貌的理论解释，必须要提到天才的华人天体物理学家林家翘和徐遐生。20世纪60年代，他们提出了星系旋臂的密度波理论。这是一种解释星系旋臂图样的简洁而漂亮的理论，至今依然被认为是旋臂成因的最佳解释。不过，近年来的一些观测表明，暗物质也许在塑造星系形态方面起到了不可忽视的作用，否则宇宙中的星系不会是如今的模样。今天，相关的理论研

究依然是天体物理学的前沿课题。