高中数学数列问题中的递推关系的应用

张秀慧

摘要：作为一名高中生无论是理科生还是文科生都需要学数学，并且数学在高考中的分数占比很高，同时也是拉开分数的主要学科，因此作为高中生想要在高考上考出好成绩，就必须学好数学。数列是数学中极其重要的组成部分，同时也是在高考中的必考题型，在选择题、解答题部分都会出现，分值在二十分左右。因此要学好数学就必须学好数列部分。在此背景下，文章主要介绍了高中数学数列文中中递推关系应用的两种途径，希望可以广大高中生以参考和启迪。

关键词：高中数学 数列问题 递推关系 应用

在高中数学知识体系中数列是一个重要的组成部分，在选择题、填空题以及解答题都有涉及，而要快速解答数列问题，就必须对题目中的数列关系有一个清晰的认知，对题目中的递推关系有一个正确的处理，可以说递推关系是数列问题解答的关键所在。基于此，文章从高中生角度，以自身在高中数学数列学习中的所思所感为背景，通过实际的题目讲解，阐述了两种在数列问题中，递推关系应用的途径，旨在帮助更多的高中生在数学数列问题解答上掌握一些解题技巧，提升解题速度和正确率，以下是具体内容。

一、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列问题的主要形式也是基础，在面对一个数列问题时，最好的解题的途径就是将其转化为等差、等比数列，然后应用等差、等比数列的相关性质进行解答。以下以一道题目展开讲解。

例一：禽流感是由流感病毒引起的一种疾病。某城市，在十一月一日出现二十例新的患者，并且以后的每一天都会出现比头一天多五十例的新患者。该市的相关部门认知到了该问题严重程度，因此采取了相关措施，使该病毒传染得到了有效的控制，在某一天起第二天产生的新患者比头一天都少三十例。直到十一月三十号，在三十天的时间内，该市的患者一共达到了8670例。请问该市的新感染病毒最多的一天人数为多少，是哪一天？

在该题解答时，首先可以认知到这是一个数列问题，并且存在着一个递增和递减的关系，因此可以设在十一月n日，这一天的感染者最多，并且从一号到n号为一等差数列，等差为50；同时根据题意可以得出，从n+1天开始都三十号成一个等差数列，等差为30。

根据题意从一号到n号的等差数列为an，并且a1=20，d=50，因此在n号的感染人数为an=50n-30。从n好到三十号，其形成的等差数列为bn，并且b1=50n-60，d2=-30，因此bn=20n-30。

根据以上关系可以得出在十一月三十号的感染人数为b30-n=20（30-n）-30=570-20n。进而可以使用等差数列的求和公式，去除总的感染者为（20n+20-30）n/2+（30-n）[（570-20n）-60+50n]/2=8670

化解为n2-61n+588=0

n=49或n=12

因为一个月最多只有三十天，n=49舍弃，所以在十一月十二日这一天是感染者新产生最多的一天，其人数为570例。

二、an-an-1=f（n）形式的等差等比数列递进关系的应用

在一些应用题中数列的递推关系十分含糊，an与an-1的商或者是差不为常数，但是其所得商或者是差呈数列关系，就需要先需要运算一步之后，才能找出其中的递推关系，属于an-an-1=f（n）形式的递进关系，该类题型是难度较大的一类题。以下以一道题目展开讲解。

例二：对于一个产品而言，其在市场中都是有一定时效性的。现有一产品，根据市场调研可知，在不做广告前提下，每售出一件的利润为a元，可售出b件。在做广告时，其广告费为n千元是其效果比（n-1）時更好，可以多卖出b/2n（n≥0）件产品。

（1）写出销售量S和n之间的函数关系

（2）如果a为10，b为4000，此时商家应该生产多少件产品，投入多少广告费，才能实现获利最大？

解：（1）函数关系的求解，首先可以设在广告费为n千元时销量为Sn，因此在（n-1）千元时的销量为Sn-1。

因为Sn-Sn-1=b/2n

所以可知Sn-Sn-1为一等差数列

所以S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n=（2-1/2n）b。

因此当为n千元时函数关系式为S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n。

（2）当b=4000时，根据（1）得出的结论可知此时S=4000（2-1/2n）。设此时的获利为t，因此可以得出t=10*S-1000n=40000（2-1/2n）-1000n

要求出最大值Tn，

则必须满足Tn≥Tn+1且Tn≥Tn-1

求解的n≥5且n≤5，故此n=5

带入式子求得S=7875

即做5000元的广告，生产7875件产品，获利最大。

三、结语

综上所述，作为高中生的我们，要取得好的成绩的必须学好数学数列，文章主要介绍了在一般等差、等比数列、an-an-1=f（n）形式的等差等比数列的递推关系应用的解题途径和方式。希望可以帮助更多的高中生，能够在面对数列问题时，冷静的找出其中的递推关系，并作出正确的分析，提升解题正确率，同时也提升整体的数学素质。

参考文献：

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（作者单位：莱芜市第一中学 55级1级部12班）