从数学直觉到演绎推理

程庆保

【摘要】数学直觉是直觉思维在对数学知识理解上的主要表现形式，也被称为合情推理.在数学漫长的发展过程中，数学直觉起了巨大的推动作用，因而，中学教学不能忽视学生数学直觉的培养.本文以卡布列克运算为例，阐述了从数学直觉发现结论，到演绎推理证明结论，再利用数学直觉发现新结论的完整过程，这样的过程正是数学得到发展必须经历的.

【关键词】数学直觉；卡布列克；黑洞数

直觉思维是人类一种重要的心理活动，指对一个问题不经过严密的逻辑分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案做出判断.而所谓数学直觉，是直觉思维在对数学知识理解上的主要表现形式，是人们根据已有的知识和经验，通过观察、联想、类比、归纳等活动，对数学结论做出迅速的判断，我们也将之称为合情推理.

在数学的漫长发展过程中，数学直觉起到了巨大的推动作用.从勾股定理到圆幂定理，从哥德巴赫猜想到孪生素数，数学史中的每一个重要的定理和猜想都离不开数学直觉.因而，在中学数学的教学中，我们不能忽视对学生数学直觉思维的培养.

卡布列克是一名美国的数学家，他设计了一种神奇的运算：对于一个数字不完全相同的四位数，如果将数字重新排列，组成一个最大的数和一个最小的数，然后作差，产生一个新的四位数（如果差不是四位数，则用0补齐）；将这个四位数中的数字重新排列，继续组成一个最大数和最小数，作差……按照这样的运算法则，不停继续下去.他在对几个数字进行这样的运算后，发现总是得到一个稳定的结果：6 174.例如，我们对数字2 566进行这样的运算，第一次得到的结果为4 266，第二次得到的结果为4 176，第三次便得到6 174；如果数字为2 561，第一次结果是5 265，第二次结果为3 996，第三次结果为6 264，第四次结果为4 176，第五次结果为6 174.于是，依靠数学直觉，卡布列克大胆猜想：任意一个四位数，经过这样的运算，总会得到6 174.如此，在尝试了几次后，他还认为最多经过七次，就可以得到6 174.

实际上，这样的过程如果交给学生去探索，完全可以引导学生猜测出这样的结论，这也是培养其数学直觉的过程.但是如何让学生去信服自己的数学直觉呢？这个时候便可借助演绎推理来进行——通过适当的证明去分析所猜想结论的合理性.这样，学生便经历了从数学直觉到演绎推理的过程，通过数学直觉发现结论，而通过演绎推理肯定结论.

那么，卡布列克的猜想是否合理呢？我们很容易证明：在这样的运算下，在有限步内必然会进入一个循环.理由很简单，从1 000～9 999，四位数一共只有9 000个，如果加上限制条件，数字只会更少.那么，循环节是否只有6 174这一个数？是否存在一个数字需要通过8次或者8次以上的运算才能得到6 174？很多数学爱好者对此进行过证明，更有人使用编程解决了这个问题.笔者在此提供一种建立在简单枚举基础上的证明方法.

我们任意给出一个四位数，将其数字重新排列，不妨設组成的最大数为abcd，其中满足9≥a≥b≥c≥d≥0，那么最小数则为dcba，经过一次卡布列克运算，我们能得到

abcd-dcba=999（a-d）+90（b-c）=K1.

由条件知：a-d>b-c，否则会有a=b=c=d.

若a-d=1，则b-c=0，K1=0 999；

若a-d=2，则b-c=0或1，K1=1 998或2 088；

若a-d=3，则b-c=0或1或2，K1=2 997或3 087或3 177；

……

这样进行下去，K1共有1+2+3+…+9=45个可能的取值.

若对K1进行一次卡布列克运算得到的结果为K2，经计算，K2共有20个可能的取值，分别为8 991，8 082，8 352，7 173，8 532，6 354，6 264，8 172，6 174，4 176，5 355，7 992，5 994，3 996，1 998，4 995，3 087，5 265，9 621，7 443.

此时，再将其中19个不为6 174的数进行卡布列克运算，得到的K3只有13个取值：8 082，8 532，6 174，6 354，3 087，4 176，7 443，1 998，7 173，5 355，6 264，8 352，3 996.

继续下去，K4的取值共有10个：8 532，6 174，3 087，8 352，3 996，8 082，6 354，1 998，4 176，6 264；

K5的取值共有7个：6 174，8 352，6 264，8 532，3 087，8 082，4 176；

K6的取值共有3个：6 174，8 352，8 532；

而K7只可能取6 174.

故任意一个四位数，只需要经过最多7步卡布列克运算，便能够得到6 174.

通过上述过程，我们证明了卡布列克的猜想的合理性.值得一提的是，如今数学家们将6 174这个数称为卡布列克常数.实际上，在数学直觉的助推下，我们还能够有更进一步的猜想.如，对于更高位的数，在卡布列克运算下，是否也存在像6 174这样的常数呢？如果有，最多需要几次运算得到呢？类似的猜想促使着我们不断地进行探索，而数学也就是在这样不断的探索中得到了发展.

【参考文献】

[1]马明.马明教育论文集[M].南京：江苏教育出版社，1986.