“直线与圆的位置关系”的教学与感悟

许惠芳+廖江锋

摘要：“好的开端等于成功了一半”，成功的课题引入能够集中学生的注意力，为学生提供适宜的学习情境，激发学生的求知欲和调动学生学习的积极性。由于微课的时间短，形式新，能很好的吸引学生的注意力，促进学生自主学习。在温故知新、探究新知这个教学环节中我插入了微课，在微视频中复习巩固相关的知识点，为本节课的学习做好铺垫。

关键词：直线；圆；位置；练习

中图分类号：G633.6 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）030-000-02

2016年3月，在我校举行的上课比赛中，笔者执教了《直线与圆的位置关系》（高等教育出版社出版的数学基础模块下册第八章第四节），现将本节课的教学过程记录下来，旨在与同行们交流、切磋，不妥之处，欢迎大家批评指正。

一、课堂实录

（一）导入

1.创设情境，兴趣导入

先利用多媒体展示几张福建福安白云山日出的图片。

师：请同学们说说在日出的过程中太阳和地平线有怎样的位置关系？从日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形？

生：可以将太阳抽象成圆，地平线抽象成直线。

（地平线）

2.探索发现

教师在黑板上画一条直线，并拿圆环在直线上移动。

师：观察刚才老师的操作演示，直线与圆有几种位置关系？都是什么？

生：三种：相交、相切、相离。

师：回答的真棒！这就是我们本节课将要研究学习的内容《直线与圆的位置关系》（出示本课课题）。现在请在本子上画一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，平移直尺，并画出直线与圆的三种位置关系，接着在图上画出该圆的圆心到三条直线的距离。

（二）温故知新，探究新知

师：点与圆有几种位置关系？

生：三种。

师：都是哪三种？

生：点在圆外，点在圆内，点在圆上。

师：怎样判定点和圆的位置关系？

生：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半徑时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内。

师：回答的真棒！能否类比点与圆的位置关系的判定方法来判定直线与圆的位置关系呢？

（先让学生思考讨论，再微课播放直线与圆的位置关系的判定方法之一：用两者公共点的个数来区分：有两个公共点时直线与圆相交；只有一个公共点时直线与圆相切；没有公共点时直线与圆相离。）

（微课播放直线与圆的位置关系的判定方法之二：用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来区分：dr时直线与圆相离。）

师：以上两种方法在解题中哪种方法更好用？

生：第二种

师：为什么？

生：只要算出d的大小，再与r比较下就行了。

师：好！那本节课我们将用第二种方法进行解题。在解题之前先回顾下点到直线的距离公式。

师：点P0（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离d=？

生：d=

师： 设圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2 ，则圆心C（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离为d=？

生：d=

师：很好！比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系。

（三）典型例题，巩固新知

例1 判断下列直线与圆的位置关系：

（1）直线x-y+3=0，圆（x-1）2+（y-1）2=9

（2）直线3x+y-5=0，圆x2+y2-10y=0

解：（1）由方程（x-1）2+（y-1）2=9知，圆的半径r=3，圆心为点C（1，1），圆心C到直线x-y+3=0的距离d=，由于d

（2）将方程x2+y2-10y=0化成圆的标准方程，得x2+（y-5） 2=25

因此，圆心为点C（0，5），半径r=5，圆心到直线3x+y-5=0的距离为d=，由于d

由例题引导学生归纳总结出用d与r的比较大小判断直线与圆的位置关系，通过例题深化学生对点到直线距离的理解，加深印象，从而突破重点

（四）知识巩固 应用提升

例2 过点P（1，-1）作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线，试求切线方程

分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率k，可以利用圆心到切线的距离等于半径的条件来确定 k.

解：设所求切线的斜率为k，则切线方程为y+1=k（x-1），

即圆x2+y2-2x-2y+1=0的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1

所以圆心为点C（1，1），半径r=1。如右图所示：

作出圆及其过点P的两条切线。圆心到切线的距离为d=，由于圆心到切线的距离与半径相等，所以，解得k=故所求切线方程为即或.

例3 （2016年福建省高职招考的最后一题）：如图所示，点A（6，0），B（0，8），求：

（1）线段AB中点C的坐标及线段AB的长度|AB|.

（2）以线段AB为直径的圆C的标准方程.

（3）过点P（-2，-6）与圆C相切的直线方程。

解：（1） 因为点A（6，0），B（0，8），

所以线段AB中点的坐标为C（3，4）。

线段AB的长度|AB|=

（2）依题意得：

所求圆的圆心坐标为C（3，4）.半径r=|AB|=5

所求圆的标准方程为：.

（3）设所求的切线斜率为k，则所求的切线方程为y+6=k（x+2）

即kx-y+2k-6=0

由d=r，得d=，解得：k=

所以所求的切线方程为y+6=（x+2）.即3x-4y-18=0

因为点P（-2，-6）在圆外，切线有两条，所以另一条切线的斜率k不存在，切线方程为x+2=0，综上所述，所求的切线方程为3x-4y-18=0或x+2=0。

（五）应用知识， 强化练习

（1）判断直线y=与圆（x-4）2+y2=4的位置关系

（2）求以点C（2，-1）为圆心，且与直线2x+5y=0相切的圆的方程

师：（1）题与上面例1一样吗？

生：差不多，只是数字不同。

生：还有直线方程的表示形式也不同

师：观察的真好！能直接用点到直线的距离公式吗？

生：不能，直线方程不是一般式，要转换成一般式才能用公式。

师：回答的真棒！在应用点到直线的距离公式中，直线方程必须为一般式方程。本题的直线方程转换成一般式方程后是什么？

生：y+=0或3y+=0

师：很好！3y+=0在计算上更好些。

（六）归纳小结，布置作业

小结：用d与r的大小判断直线与圆的位置关系的步骤：

（1）求出圆的圆心C（a，b），半径r.

（2）直线方程必须是一般式

（3）用圆心C（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r比较大小

（4）若d>r，则相离；若d=r，则相切；若d

作業： 课本第72页习题8.4A组1（4）、3 复习题8 A组1（6）、5。

二、教学感悟

本节课授课对象为电子商务专业的学生，他们思维活跃，有较强的求知欲。在本节课之前他们刚刚学习了直线方程、直线与直线的位置关系、点到直线的距离、圆的方程，初步具备研究直线与圆的位置关系的基础。但他们数学基础不够扎实、数学兴趣不浓，计算能力较弱，独立分析、解决能力有限，积极参与研究、合作交流意识方面有待加强。直线与圆的位置关系的判定是本节课的难点，在判断直线与圆的位置关系时还有第三种方法，即将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论来研究直线与圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦，计算量相对较大，针对学生的特点，在课堂上只是提一下，并没有展开。在课本教材中采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离的大小来讨论的方法，相对比较简单。平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小来判断直线与圆的位置关系，学生容易接受，例题1就是采用这种方法讨论的。在教学过程中，为实现学以致用的教学特色，以引导发现教学法和讲练结合教学法作为教学主线，辅助以情境教学法，提高学生对数学学习的兴趣。

“好的开端等于成功了一半”，成功的课题引入能够集中学生的注意力，为学生提供适宜的学习情境，激发学生的求知欲和调动学生学习的积极性，在创设情境，兴趣导入这个教学环节，利用学生的直观思维这一特点，采用多媒体展示日出图片，让学生感受生活中的例子，拉近数学与现实的距离，激发学生对数学学习的好奇心和求知欲，同时鼓励学生积极发言，学生对图形的认识恰当运用信息技术由感性上升到理性。在探索发现这个教学环节中，师生共同动手操作演示，并让学生思考、观察，由想象过渡到实物演示，让学生直观看到变化过程，抽象到具体，形成知识，让学生动手画出直线与圆的三种不同的位置关系，让学生在操作中再现知识的形成过程。通过循序渐进的问题，类比点与圆位置关系的判定方法为新课的学习做铺垫，使得学生对直线与圆的位置关系的研究经历从直观到抽象，学生的数形结合能力、类比观察能力得到培养。

由于微课的时间短，形式新，能很好的吸引学生的注意力，促进学生自主学习。在温故知新、探究新知这个教学环节中我插入了微课，在微视频中复习巩固相关的知识点，为本节课的学习做好铺垫。例题2是巩固提升题，所使用的方法是待定系数法，在利用代数方法研究几何问题中有着广泛的应用，这种题型一直是大部分学生的难点，在高考题中也经常出现它的面孔，为此引出2016年高考的最后一题压轴题，进一步增强学生学习的好奇心和求知欲。

参考文献：

[1]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-28.

[2]李广全，李尚志.数学基础模块下册修订版[M].北京：高等教育出版社，2013：73-75.