“生长数学”：数学课堂教学的愿景

【摘 要】“生长数学”可以认为是数学课堂教学的愿景，让学生学到具有生长力的数学是生长数学教育的核心所在。“生长数学”要关注让学生从问题中生长思维、从探究中生长学力、从感悟中生长品格、从内化中生长素养，只有这样，数学教学才能聚焦核心素养，才能向践行创新思维的理想王国起航。

【关键词】生长数学；生长；生长力；教学主张

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）11-0033-03

【作者简介】卜以楼，南京市宁海中学分校（南京，210036）教师，正高级教师，江苏省特级教师。

笔者提出“生长数学”的教学主张，一是源于对关注学生生命自觉的责任。数学的学习愿景，归根结底还是定位于学生生命的绽放，所以要从生命的视角播种数学，让其发芽、生根、枝繁叶茂，直至长成参天大树，用数学的精巧来演绎生命的精彩。二是给数学以生命，让生命教育着生命。生长源于内在渴望与外部环境的作用，学生的数学学习体系也要让其在一定环境中自内而外地“生长”。教师要深层次地寻觅思维活动轨迹，高标准地架设知识生长结构，才能教给学生具有生长力的数学，数学教学才能迸发出无与伦比的生命力量。

捷克著名教育家夸美纽斯指出：“找出一种教育方法，使教师因此而少教，但是学生可以多学；使学校因此可以少些喧嚣、厌恶和无益的劳苦，独具闲暇、快乐及坚实的进步。”[1]毋庸置疑，基于高品质关注学生生命成长、高水平理解数学学科教学、高起点创造数学生长过程的“生长数学”，便是对这种教育信念的践行。本文就“再探幂的运算”这一教学活动，谈谈笔者思索“生长数学”这一教学主张的立意。

一、从问题中生长思维

生命的本质特征是自然生长、必然生长。数学教学的价值在于思维教学，思维教学的关键在于创设思维必然的场景，从而让学生通过数学活动学会数学思维，进而学会思维，提升数学核心素养。

“再探幂的运算”这节课在江苏南通借班上课，他们使用的是人教版教材，这节内容被安排在八年级上册最后一章中，笔者上课时八年级学生还没有学到这一内容，所以借用九年级学生开启“再探幂的运算”这一学习之旅。

开始上课时就直接提出“活动1”：“同学们，我们在八年级上册学习了幂的运算，从幂的运算这个课题上看，这节课我们要研究什么问题？”这个直击本节探究中心的问题，它不是要求学生将已学过的am·an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn这四种幂的运算性质重述一遍，而是要靠学生自己的思维，认真审题，自然地思考。这里的自然思考，不是教师强加给学生的，而是问题情境产生的思维场把学生带入到思维自然的状态。这种自然思维的状态，就是弄清本问题让你干什么。干什么呢？自然要探究幂的加法、减法、乘法、除法、乘方和开方这六种运算，接下来学生的思维就进入具体探究这六种运算的必然思维中。

显然，学生思维的方向性和层次法是由教师设置问题的目的性和质量决定的。如果设置的问题不能构成有效的思维场，那么学生的思维就没有方向性，即使教师把答案告诉学生，也是强加给学生的，不是学生自然生长出来的，这种缺失自然性的思维是没有生命的。如果设置的问题不能构成合理的思维场，那么学生的思维就缺失必然性，也就没有层次性，这样的思维也是没有生命的。

在“活动1”的基础上，再逐级给出8个活动，它们拾级而上，逐渐生长，形成本节课的9个问题链。这9个问题链又形成了本节课的思维流，讲述着幂的运算的“思维故事”[2]。故事的立意不是已学过幂的运算性质的老生常谈，而是基于“再探”生长理念的创新认识，这时学生回首眺望，倍感本节课“再探”的价值珍贵。这里的思维价值既有像“本节课就是要逐一探究幂的六种运算”这种思维的“干什么”，又有像“如何研究每一种运算”的“怎么干”，这种生长的思维、成长的体验，出于“数学地思维”，又不囿于“数学地思维”，是通过数学思维积累思维素养，可能将伴随学生的一生。

二、从探究中生长学力

学力是学习能力、动手能力和知识水平的简称，它指一个人的知识水平以及在接受知识、理解知识和运用知识方面的能力。因此，生长学生的学力、提升学生的学力，自然成了数学教学的责任和担当。基于这样的认识，数学教学中不仅要重视学生应该要學到什么，还要关注让他们怎样学到什么，所以教学中要给学生以自主探究的地位、独立思考的时空，形成过程的感受、体验成败的乐趣。只有这样，学生的学习才能走向深入，学力才能得以生长。

在这节课的另一环节如何研究幂的加法过程中，首先让学生认识到这是一个多变量的问题，然后让学生自然地将在研究物理、化学、生物等学科时的控制变量法迁移到数学探究中来，这样就在数学园地里播下了控制变量的种子，并在这个探究活动中让其落地生根，开花结果。由此看来，这是一种教学的智慧，也是一种体现生长数学理念的实践。

具体来讲，如果将用控制变量法研究“幂的加法”视为一个“元认知”的话，那么将这个“元认知”的种子在“幂的乘法”中再次发芽，又可算是另一次生长；接着将这个“元认知”的种子迁移到“幂的乘方”中，这时学生可体悟到此时控制变量的不适切性；最后将之运用到“活动9”的解题学习中，则可彰显出其强大的生命力。对于第一道题，可将底数控制成1，求a；可将底数控制成-1，求a；可将指数控制成0，求a。对于第二道题和第三道题，同样可以从控制底数、指数两个变量来考虑，而控制底数如何来控制，控制指数如何控制，又大有文章可做，需要再一次的控制，这样就产生了“一题多解”。如果从控制变量这个角度去看待问题，那么这三道就是“多题一解”；如果整体地去看待这一节课，那么整节课也是个“多题一解”。所以说，生长的力量不可小觑！

教学中展现的控制变量法在“幂的运算”这个环境中生长的过程，它既有从其他学科迁移到幂的加法的“从无到有”的过程，也有从幂的加法迁移到幂的乘法的“从有到有”的过程，还有迁移到幂的乘方的“从适应到不适应”的过程，更有迁移到解题活动中的“从有到强”的过程。在这些过程中，数学知识的种子，需要师生给予生长条件，需要学生的认知和内化相润泽。只要学生从“知识元”出发，将“最近发展区”转化为“营养液”，那么随着学生认知的不断完善提高，知识的种子一定会一步步地生长。

这种一次次的生长，一次次的体验，一次次的积累，正如人民教育出版社数学编审高存明老师在讲座中所说的那样：数学的生长及学习如同大树的生长过程，种子发芽、生根、生长，再生根，再生长，循环往复，双向促进，最终根深叶茂，叶茂根深。在数学的学习中，构建基本原理，并由此产生的各类知识层面和方法，都要进行双向贯通，不停地返到起点，周而复始，彼此不断地沟通、演化、深化，基础会打得越来越扎实牢固，对各类知识面的理解也越来越深刻。数学逻辑可用“性”与“法”这两条主线，达到双向贯通的目的。

三、从感悟中生长品格

“生长数学”不光指数学知识的内部生长，也指学生数学思维的生长，更指学生的思维品质、生命品格和精神价值的生长和提升。如果说在探究中生长学力是一种能力的提升，那么在数学教学中还要锤炼学生的思维品质和生命品格。提升学生学习品质和生命品格“是一个关注人的生命成长的过程，是一个将知识生长与人的生命成长协同发展的教学理念的具体体现，也是一个追求彰显个性发展的过程，更是一个体悟知识生长、生命成长哲理的过程”[3]。

“再探幂的运算”这节课，精心架设了学生积极思维、主动探究的认知结构。在这种结构中，学生一定会自主地在教师营造的思维场中去探究，有一种刨根问底的探究信念，有一种“舍我其谁”的必胜气场，有一种大胆尝试、敢于创新的实践行为。因为学生在探究幂的加法时，面对的就是一个司空见惯的加法问题，不是高不可攀的月亮和星星，而是跳一跳可以摘到的桃子。只不过这个问题以另一种形式出现，在某种程度上挑战了学生的认知底线。此时，学生的参与度高，探究热情浓，骨子中“不信自己连一个加法都搞不定”的不服输的倔劲油然而生。在这种氛围中，学生呈现出来的一定是积极向上的正能量，在这种思维场中，磨炼出来的一定是向上正能量的学习品质和生命品格。

课堂教学只有像这样用问题、用思维去引领、激发和唤醒学生，顺着学生的认知规律不断向前推进，新知才能在旧知的树干上萌发新芽，向着阳光努力生长；学生的学习品质和生命品格才能在自己的感悟中不断得到有效、有度的锤炼；数学教育才能接近高位的教学目标，数学教学才能在人的发展中发挥正能量；教育的力量才能自然地潜移默化、春风化雨。

四、从内化中生长素养

教育部2016年9月公布的《中国学生发展核心素养》总体框架中指出：学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。这就是说基于核心素养的教学，既要立足当前的知识技能的发展，更要关注长远的能力品质的形成，真正把数学教学设计成数学活动的教学，把数学活动的教学设计成数学思维的教学，把数学思维的教学设计成人的生命成长的教学。在关注知识生长、生命成长的活动过程中，内化知识技能，积累活动经验，形成数学素养。

知识生长活动、生命成长的体悟都必须把握好生长和成长的时空与路径，“认真谋划知识的生长过程，精心设计好问题生长的路径，要创造性地提炼知识的生长链”[4]。“再探幂的运算”这节课，一方面，设计了幂的加、减、乘、除、乘方、开方这六个大路径，在大路径中又用控制变量法和逆运算法设计了多个小路径，为学生提供了足夠的探究、生长空间。另一方面，从整节课来看，用问题驱动，开辟路径来激起学生思维及情感的波澜，这样学生不再仅仅是收获一份结论，还有活动中自我完善与自我优化的思维策略，从而形成比较完整的数学认知结构，这种优化的策略与意识，有力地促进了数学素养的生长。

“教育的出发点和落脚点就是让学生经历一种成长、见证一种成长”[5]，这也是生长数学的教育情怀和教育理念。我们只有立足数学教学的高远目标，以学生为本，以学生的思维为本，以累积学生的素养为本，从内心深处把学生当作神圣的生命，尊重他们的认知基础和活动经验，那么，知识、学力、经验、智慧、品行等素养就一定会从数学课堂中慢慢地拼命地生长出来！

【参考文献】

[1]夸美纽斯.大教学论[M].傅任敢，译.北京：人民教育出版社，1979.

[2]卜以楼.生长构架：复习课的理念创新[J].中学数学：下旬，2016（10）.

[3]卜以楼.相似图 迁徙链 生长路——基于生长型架构下相似三角形复习课的实践与思考[J].中学数学教学参考：中旬，2016（04）.

[4]卜以楼.用生长型构架进行中考复习：“增长率问题”复习案例[J].中国数学教育：初中，2010（03）.

[5]卜以楼.生长型构架下实数复习课的教学实践与思考[J].中学数学：下旬，2016（03）.