分数阶微分方程数值求解的常用方法

高旺（东北石油大学,黑龙江大庆163318）

分数阶微分方程数值求解的常用方法

高旺（东北石油大学,黑龙江大庆163318）

分数阶微积分是由整数阶微积分推广而来，主体理论是关于任意阶微分和积分的。整数阶微积分和分数阶微积分是统一的。尽管众多学者创造了许多用来描述分数阶微分方程、分数阶积分方程和分数阶偏微分方程的数学模型，但关于分数阶微分方程的精确、高效的算法仍然缺乏。因此，下一步的重点就是寻找求解分数阶微分方程，特别是非线性微分方程的方法。

分数阶微积分；整数阶微积分；数学模型

几个世纪以来，对分数阶微积分的理论研究非常有限，主要集中在数学的纯领域。貌似只有数学家和科学家研究这个领域才有价值。然而，经过一系列的改进，分数阶微分方程开始逐渐用来解决光学和热学系统、电路及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人等领域的问题，实用性越来越强。国内外学者十分关注分数阶微积分理论，尤其是理论中从实际问题抽象出来的分数阶微分方程。人们最关心的就是如何适用一种实用的数学工具和基本原理来完成对这些复杂系统建模的工作。分数阶微积分方程用来描述复杂系统时具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优点，因此，用其来刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程在合适不过了。复杂力学与物理过程数学建模都首先考虑使用分数阶微积分方程[1,2]。

1 分数阶微分方程研究现状

针对理论研究，假设满足李氏条件是首要前提，而且证明方法也和经典微积分方程没有区分。简而言之，这些工作可以看做经典微积分方程在理论方面的延展。缺乏针对分数阶微分方程进行系统性分析的结果，只能局限于对一些非常特殊方程的求解，且用来求解的方法也不完美。

现有分数阶方程的数值算法在数值求解方面还不完美，主要缺点有：

（1）在数值计算中尚未彻底解决一些挑战性难题；

（2）完美可靠的数值算法几乎没有，现在经常使用的算法还是有限差分方法和有限单元法；

（3）没有开发出可靠的数值模拟软件，距离实际使用还有较大距离。

分数阶微分方程缺点众多，基于现状来发展新的数值算法成为了当务之急。新的算法要保证良好的计算可靠性和精度，在这个大前提下来提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量过大和存储量过大的缺点。因此，相应的计算力学应用软件也应当开发出来，成为了各大学者迫在眉睫的任务。

整数阶微积分只和函数的局部特征有关系，而分数阶微积分基于加权的形式，额外考虑了函数的整体信息。在诸多方面应用加权理论来建立分数阶微积分数学模型，这样做一来能更准确的描述实际系统的动态响应，二来可以在设计、表征和控制等方面改进和完善动态系统的的性能[3]。

2 结语

针对算法里面的解析解，以线性分数阶微分方程为代表的简单的方程可以借助一些特殊函数以及变换方法来求得其该方程的解的解析表达式。特殊方法有Mittag-Leffler函数、La⁃place变换等。以非线性分数阶微分方程为代表的复杂方程，在进行求解的过程，一些半解析方法，诸如Adomian分解方法，变分迭代法以及同伦分析方法等，都可以从从理论方面入手，进而扩展到分数阶微分方程求解中。这些方法虽然具有计算时间短等优势，但由于迭代次数较少引起了短时间内快速发散，针对长时间系统解的研究则显得力不从心。

[1]陈文,孙洪广.分数阶微分方程对的数值算法:现状和问题[J].计算机辅助工程,2010,19(2)：1-2.

[2]林然,刘发旺.分数阶常微分方程初值问题的高阶近似[J].厦门大学学报(自然科学版),2004,(1):21-25.

[3]薛定宇,陈阳泉.控制数学问题的MATLAB解[M].北京:清华大学出版社2009:19-56.

Fractional calculus is generalized by integer calcu⁃lus,and the principal theory is about any order differential and in⁃tegral.Integer calculus and fractional calculus are uniform.Al⁃though many scholars have created a number of mathematical models to describe fractional differential equations,fractional inte⁃gral equations,and fractional partial differential equations,the ex⁃act and efficient algorithm for fractional differential equations is still lacking.Therefore,the next step is to find a solution to the fractional differential equation,especially the nonlinear differential equation.

fractional calculus;integer order calculus;mathe⁃matical model

高旺（1992-），男，吉林省德惠市人，在读研究生，研究方向：控制工程。