数学核心素养下“好题库”资源的开发和利用

郭建华+++陆道春

摘 要：数学核心素养是学生在数学学科内所具备的基本素养.“好题库”资源的创建和利用可以促成学生基础知识的积累，加强解题基本技能和思想方法的掌握，训练和优化学生的思维品质，让核心素养在数学学习过程中得以更好地体现和落实.

关键词：核心素养；好题库；解题技能；思维品质

精心选择学习素材，构建学习情境，设计符合学生认知规律的、自然而清楚的系列数学活动，引导学生通过多样化的学习方式，掌握数学知识，形成思维能力，并在运用数学知识解决问题的过程中培养创新精神和实践能力，从而实现核心素养的发展目标[1].为了更好地落实数学核心素养，丰富学生的学习方式和优化学生的思维品质，在基于数学核心素养的解题教学中尝试设计一种新型的作业——创建“好题库”.以此为载体，让“好题库”中的“好”题“活”起来，将它们开发成一种宝贵的教学资源，并挖掘其潜在的教学价值.尽量让每一位学生都参与学习，更重要的是要做到思维的参与，真正让学生成为学习的主人，因此很有必要对其进行一些有益的探索.

一、数学核心素养下“好题库”资源的开发

（一）教师指导学生分组

数学课代表为“好题库”协调员.教师指导学生分组，并对小组编号，每组推选一位组长，要求每天每组安排一个人供一道题，并提供详细参考答案，写在答题卡上（答题卡见表1）.组长将题目交给协调员，协调员和各组组长选出“好题”，送任课教师.由任课教师把关，评出“好题”，贴在班级的黑板报内，并对全班同学征集其他解法和大家点评，然后由协调员收回整理，最后教师写点评，协调员整理好放入“好题”资料架上，为大家提供一个学习交流的平台.

（二）教师指导学生选题

首先，必须参考高考考试说明，了解命题的指导思想和考试内容及要求；其次，要求学生从做过的题目中选题，并思考本题所考查的知识点、数学思想方法、解题技巧等；最后，指导学生依据教学进度供题，同时要注明供题的理由.另外，其他同学也可以对该题进行再研究（解法的探究、变式的训练等），并整理研究成果，然后大家一起交流，补充在备注栏. 学生选题的过程其实就是学生思维的呈现过程，它包含了描述问题、数学表达、建模解模、验证结论、反思完善等，有助于深化理解数学知识间的联系，更有助于灵活掌握“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）.

（三）教师指导学生整理

协调员每周一都要为上周的“好题”装订并写目录，便于大家查阅.教会学生“会学”数学，注重培养学生的理性思维，是数学教育的基本目标之一，也是数学核心素养的重要体现.良好的数学思维品质是在教师的“教”与学生的“学”的有机结合过程中，有针对性、有计划、有目的的训练中得以培养和发展的.利用“好题库”资源的开发和利用，引导学生学会运用数学的立场、观点、方法来处理问题，进而优化学生的思维品质.

二、数学核心素养下“好题库”资源的利用

核心素养在数学学习中要得以落实，关键是“示以学生思维之道”，使学生学会思考，学会学习，能用数学的方式分析和解决问题.为了更好地落实核心素养，从学生作业方面作了一些改革——创建“好题库”.一方面，通过典型习题能及时复习巩固所学知识，加强对当节内容的理解和应用；另一方面是挖掘习题的潜在教学功能，引导学生探究，让学生主动参与解题教学活动中，促进学生积极思考，培养学生的数学思维品质，让核心素养在解题教学过程中得以更好地体现和落实.

（一）借“好题”书面交流 培养学生思维的独创性

萧伯纳有句名言：“两个人，每人有一个苹果，交换一下，仍是每人一个苹果；两个人，每人有一种思想，交换一下，每人就有两种思想.”那么对于一道“好”题，课堂上毕竟时间有限，课下老师和学生可以进行书面交流.从不同角度去剖析研究，大家会对题目研究得更透彻，会起到举一反三，触类旁通的效果.

案例1 （2008年江苏卷第14题）设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 .

（1）推荐理由

通过多方位、多角度、多途径进行观察和思考，寻找解决问题的最佳途径.不仅激发学习数学的热情，加强对数学概念的理解，还能增强处理数学问题的能力和发展创新意识.

（2）解法探究 这样引出了该问题的第三种解法，不分离变量，利用导数求解，教師再给予引导和点评，导数法是求该类问题的通性通法.

（3）教师点评

学生将自己的想法写下来与教师书面交流，教师不仅为学生留下批阅的痕迹，提出修改建议或抛出问题，启发引导学生再思考，还能不断地激活学生思维和完善解题过程.用教师的追问培养逻辑推理、数据处理、数据分析等数学核心素养，这远比让学生单纯解几道题的意义更大，这样不仅让学生掌握了解这类题的通性通法，还让学生经历发现问题、分析和解决问题的过程，体验数学的严谨性和科学精神，凸显学生思维的独创性，也正是数学核心素养的体现.

（二）通过“好题”纠错反思 培养学生思维的批判性

“错误”是最好的老师，挖掘隐藏在“错误”背后的智力因素是最重要的.面对“好题”的错解，应充分暴露学生思维的过程，提出具有启发性和针对性的问题，并顺着学生的思路将“合理成分”激活，让错误“出彩”，让好题“活”起来.另外，还要借助错误帮助学生重建知识体系，促进学生学习方式和思维方式的改变，更有助于培养学生思维的批判性和科学精神.

案例2 如果函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，求实数a，b的值.

（1）推荐理由

通过这道易错题达到完善认识、提高能力、优化思维的目的.另外还提醒大家在高三复习中要吃透定义、定理和概念，以免走弯路.

（2）错解再现

由f（x）=x3+ax2+bx+a2，得f'（x）=3x2+2ax+b，由题意知f（1）=10，f'（1）=0，即1+a+b+a2=10，3+2a+b=0，解之得a=4，b=-11，或a=-3，b=3.

（3）错因分析

对于可导函数f（x），f'（x0）只是f（x）在x=x0处取得极值的必要条件，要在x=x0处取得极值，还必须满足f'（x0）在x0两侧异号，所以，此解法求得的结果不一定正确.

（4）教师点评

数学概念本质属性和内在联系的揭示是概念教学的重要环节，也是提高学生数学素养的关键.示错的实质就是故意制造或扩大学生认知结构的不协调，引发认知冲突.示错得体，必将点燃学生思维的火花，引发质疑、思考，在数学交流中形成思维碰撞，将浅层次的思考转化为深刻思维，有利于促进学生多角度理解和把握问题本质.

（三）通过“好题”多解探究 培养学生思维的广阔性

在数学解题教学活动中，注重多方位、多角度的思维方式，有助于学生对相关知识系统的把握，整体建构，更能激发学习兴趣，从而提高探究问题和解决问题的能力，对培养学生思维的广阔性大有益处.

案例3 在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，AB∶AD∶AC=3∶k∶1，则实数k的取值范围为 .

（1）推荐理由

本题含有很多让学生创造和探究的元素，通过对题设条件的挖掘和再创造，能寻求到更好的求解方案.不仅有利于培养学生的钻研精神和创造能力，而且有利于培养思维的灵活性和陶冶情操.

（2）解法探究

（3）教师点评

此题内涵丰富，解法颇多，是一道提高学生解题能力的好题，更是培养学生思维广阔性的好题.一题多解，更重要的是对解法的比较和改进，在不同解法的优化中提升学生的解题能力和数学建模能力，为锻炼学生的数学素养提供一个平台.

（四）通过“好题”变式探究 培养学生思维的灵活性

通过“好”题变式探究，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，有助于培养学生理性思维的灵活性.

案例4 若关于x的方程3tx2+（3-7t）x+4=0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，求实数x的取值范围.

（1）推荐理由

选自苏教版高中数学必修1第3章复习题第14题（第111页）课本中的习题，它不仅仅是巩固基础知识、提炼解题方法、发展思维能力的载体，它也可作为我们探究教学的重要资源.

（2）探究变式

变式1 设函数f（x）=3tx2+（3-7t）x+4（t<0）的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有3个正整数，求实数t的取值范围.

变式2 已知函数f（x）=eg（3tx2+（3-7t）x+4）的值域为R，求实数t的取值范围.

变式3 已知函数f（x）=3tx2+（3-7t）x+4（t>0）.是否存在整數a，b（其中a，b是常数，且a

变式4 已知t∈R，函数f（x）=3tx2+（3-7t）x+4.当t∈[1，2]，f（x）>0恒成立，求实数x的取值范围.

（3）教师点评

“变式教学”应不断追求立足于教材并创造性地使用教材.在教学中体现学生的主体地位，调动学生的主观能动性，激活其原有认知结构中适当的观念和感性经验，调动起学生有意义的学习心向，从而产生主动参与学习的动力.在学生的“最近发展区”内进行变式探究，才能有利于同化或顺应于学生已经形成或正在形成的认知结构，以及加深对问题本质的理解，培养学生思维的灵活性，为数学核心素养的落实奠定基础.

三、结束语

事实上，真正的改革发生在课堂.数学教学的基本任务是帮助学生把一个个数学知识理解到位并能用于解决问题，这是实实在在的事情.这样，从平凡的日常教学中思考落实新理念的方法，在数学知识的教学中寻找发展学生核心素养的途径，应成为思考的基本出发点[4]..在解题教学中以创建“好题库”为载体，指导和鼓励学生独立去化解疑难，激发学生探究问题的热情，探索最适宜自己的问题解决路径.通过该作业形式的训练，不仅让学生掌握数学知识，形成思维能力，而且还要在运用数学知识解决问题的过程中培养学生的创新精神和实践能力，为实现核心素养的发展目标夯实基础.

参考文献

[1]章建跃.再谈学生发展核心素养如何落实在课堂上[J].中小学数学（高中版），2016（4）：66.

[2]刘增娣.宏观把握 追本溯源——让解题思路自然而生[J].中学数学研究， 2015（2）：35.

[3]郭建华.再谈一道填空题的另解及妙解[J].中学数学研究， 2016（6）：37.

[4]章建跃.树立课程意识 落实核心素养[J].数学通报，2016（5）：4.