微积分在概率论中的应用

赵丽姝

摘 要：微积分和概率论同是高等数学中的重要学科，也都属于理工类课程中的必修课程。微积分作为理论基础，能够为高等数学专业的学生打下良好基础，同时也是数学课程的重要工具。概率论是微积分学习的一项延续，通常大学课程都是先开设微积分课程，在此基础上再开设概率论，因此，在微积分和概率论这两门课程的学习上始终是被关注的重点，该文将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用，并举例说明，以供参考。

关键词：微积分 概率论 应用

中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）10（b）-0176-02

在实际应用过程中，微积分是和实际应用联合起来的，不仅在天文、力学、化学、生物、工程学、经济学等自然学科中，在社会学和科学等各个分支的学科中都广泛的应用，特别是在计算机中的使用更能够不断发展和拓展微积分的发展空间，使得微积分有着更加广阔的发展空间，这些都将有助于微积分的发展。作为客观世界的事物，小到粒子、大到宇宙，无时无刻不在变化着，在这变化的过程中引入变量概念，就可以用现象来描述数学了，在对于函数的概念和运用上也能够再次加深，同时科技的发展也需要数学分支来进行几何生产，这也就是微积分对这门课程的认识。

1 集合在概率论中的应用

集合和测度论两者的关系直接形成概率论，在源和流的关系上又加速了概率论的形成。可以说概率论是由微积分加速形成的。概率论主要研究的东西是随机的，在随机试验过后的结果可能不一样，但是，将一样的结果组合在一起就成为了集合，那也就是样本空间，随着关注的随机事件越来越多，数学家就设计了集合，集合就能够计算时间和使得集合的渗透速度也得到快速发展。

2 微积分在概率论中的应用

2.1 函数在概率论中的应用

（1）函数中的随机事件。函数中的随机事件是一个函数集合，在事件的整体发生上可以利用函数集合来展示。（2）从整体空间集合上来说，函数和实数在处理过程中是一个过渡过程，在整体的概率论中也是概率时代的典型，在这种概率上需要进行一个新的高度提升。（3）函数中的随机变量实数通常是指分布函数，在函数的概率论中体现的是一个重要的函数概念，在取值整体规律中能够具有很好的函数性质，可以在有界、单调的函数上进行连续，这几种连续也有存在异常情况，在微积分中，大多数函数的性质都可以顺利地进入概率论领域，在连续的随机变量上概率的密度也能够从概率论中取得另外一项重要的函数关系。从而能够在概率和随机的变量过程中将概率的密度和函数的分布归纳为一种，在这种函数的对应关系下，概率论的研究会越来越畅通，这对随机变量的研究也会起到重要的指导作用。

2.2 微分和积分在概率论中的作用

函数随机变量中最大的特点是连续性的概率密度，在与概率建立良好的关系后，函数的分布就能够用统一的方法来表示，在连续点上能够对上述的表达方式进行求导，即在概率论中的随机变量问题能够通过概率论来解决，这在微积分上属于问题的传输，通过连续性的随机变量能够求得数学期望和方差。

2.3 微积分中计算方法在概率论中的应用

概率论的大部分问题都能够通过微积分来进行处理和解决，在概率论中得到结果后应用在微积分的计算方法中，例如：

例1：设服从参数为的poisson分布，求其数学期望。

解法：利用微积分中特殊函数的展开式。

2.4 微积分在概率论中的其他应用

（1）函数的分布。在简单的结论中，能够严格证明函数用到微积分中的极限问题，但是在概率论中的大部分定律都会与中心极限定理产生作用，这也就是在微积分汇总出现的极限。（2）概率论分布点。通常在概率论中存在许多连续性的随机变量函数，这在概率论的分布中是一个难点，如果能够运用恰当可行的方式进行处理，那么就会让复杂的问题简单化。（3）特殊函数应用。通过微积分中的特殊函数来在概率论中体现，也能够得到广泛的应用，在函数的借用过程中都能够通过概率论来得到分布。

3 微積分在概率论统计中应用举例

例如：可以以N个朋友随机围绕圆桌就做，其中的两个人是一定要坐在一起的概率是多少？或者将每个人都进行编号，例如：编号1，2，3，这3个人随意地将书排列在书架上，那么只好有一本书从左到右进行排列，这样排列的概率是多少？从5个人中任意的取数，可以将数字有序的抽取3个，那么在下列的事件概率中3个完全不同的数字和3个不含1和5的数字中抽取，刚好出现两次3的概率和至少出现5的概率是多少。又如，利用独立分布的中心极限定理求极限

例2：求证：当n→∞时，

证明：考虑随机变量列{ξn}，ξn的分布是χ2（1），

则Eξn=1，Eξn2=3，Dξn=2，

所以，ξn服从中心极限定理，分布是χ2（n）。

注：数学分析中的复杂极限问题的证明和计算有的比较繁琐，若用概率论的方法解决，可达到事半功倍的功效。

4 微积分在概率统计上的应用说明

假设在问题的说明上进行举例，那么在教学举例过程中就可以将讲解的内容适当地进行引进，例如：引进一些小模型，这就能够引导学生进行一个较为深入的分析，例如：在进行闭区间的讲解上，就能够容易连续地将3个定理函数进行讨论，这就会相应的介绍一个数学模型，让看似抽象和复杂的问题更加容易被学生理解，通过问题的讲解，能够使学生更好地体会到运用数学来解决实际问题，并且在解决问题的过程中发挥重要作用。然后根据所学教材中的相应理论知识，结合现实生活中的现象来进行问题讨论，建立数学教学模型，能够让学生对新的数学教学概念更加容易理解。

随着社会的进步和时代的发展，在素质教育备受关注的今天，作为高校数学教师，应有责任和义务对现行的数学教学模式进行探讨和研究。例如：我们会经常运用到的评价模型，这对教师来说能够举例说明，这也是我们通过运用专家的隐性知识对系统进行重要性判断，在不同的评审人员中，会对不同的影响因素进行分析，求同存异，这样就能够给不同的评审人员进行不同影响因素的判断，从而为评审人员中给出结论的相似性和关联性进行探讨，也需要相似的程度进行矩阵计算，从而得出相似系统之间的结论。

5 结语

综上所述，从微积分的发展来看，我国目前的数学微积分理论已经趋近于完善，我国数学研究者也是通过微积分来解决概率问题，利用微积分来解决问题能够有效地推动数学学科发展，在概率论中的微积分能够应用更加鲜明的理论来解决复杂问题，这就需要更多的数学工作者来发现解决办法，从而让两者更好的发展。对于微积分函数和关联上，数学分支和微积分建立的实数都应建立在函数和极限函数的基础上，在极限概念微积分上能够追溯到17世纪，并且将数学模型思想更好地引入了试点阶段，采取比较常用的方式就是教师先进的建模任务，在之后进行相应的点评和示范，这样才能够让微积分更好地在概率论中进行应用。

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