一个切换Lorenz混沌系统的特性分析

2017-02-24王忠林刘树堂

重庆邮电大学学报(自然科学版) 2017年1期

关键词：数字电路马蹄子集

王忠林,刘树堂

(1. 山东大学控制科学与工程学院, 山东济南 250061; 2. 滨州学院航空工程学院, 山东滨州 256603)

一个切换Lorenz混沌系统的特性分析

王忠林1,2,刘树堂1

(1. 山东大学控制科学与工程学院, 山东济南 250061; 2. 滨州学院航空工程学院, 山东滨州 256603)

为使混沌系统更好地应用于工程实践，通过构造由2个子系统组成的切换Lorenz型混沌系统，分析子混沌系统和自动切换混沌系统的Lyapunov指数谱和分岔图，利用拓扑马蹄引理从理论上证明了切换混沌系统吸引子的存在性，基于模拟电路和数字电路2种实验手段实现了混沌系统，分析结果表明，在相同参数下，切换系统具有与子系统的不同的动力学特性，切换系统比子系统具有更大的混沌参数区间。实验结果与仿真结果完全一致，在理论和实验两方面证明了切换混沌系统的存在性。

切换混沌系统；Lyapunov指数谱；分岔图；电路实现；拓扑马蹄

0 引言

混沌系统是一个非线性动力学系统，具有对初始条件的高度敏感性、类随机性、不确定性和非周期性等特征被广泛应用于保密通信、信息加密等领域。自Chen等利用反馈控制法在Lorenz系统[1]的基础上提出Chen系统[2]以来，研究者陆续发现了许多的混沌和超混沌系统[3-8]，将广义Lorenz系统族中的平方项或者交叉乘积项用线性或非线性的切换函数代替，可以使得广义Lorenz系统族由原来光滑的连续可导的三维二次多项式自治系统变换成为相对应的不连续的分段型广义Lorenz系统族[9-11]，但是变换后的系统与原系统性质对比研究还比较少，对于这种系统也缺乏严格的理论证明。

本文以文献[3]提出的系统和修改的Lorenz系统作为子系统，获得了一个自动切换混沌系统[10]，通过对系统的Lyapunov指数谱和分岔图的对比分析，自动切换系统与原系统相比，当固定某些参数的情况下，另外的参数在更大的范围内具有混沌特性，也就是说，通过切换，子系统在非混沌(周期或拟周期)状态，切换系统成为混沌状态。

1 系统模型

基于Lorenz系统，文献[3]构造的混沌系统模型为

(1)

把Lorenz系统第2个方程中y变成-y，得到的混沌系统模型为

(2)

由系统(1)和系统(2)组成一个新的自动切换混沌系统

(3)

系统(3)中f(x)是切换函数，其定义为

(4)

即当x≥0时，系统(3)运行子系统(1)，当x<0时，系统(3)运行子系统(2)。系统(3)在子系统(1)和子系统(2)之间实现自动切换。

2 Lyapunov指数谱和分岔图分析

当h∈[0,9]，系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图如图1所示。下面通过h取不同值(h∈[0,9])时，采用系统(3)的Lyapunov指数分析系统(3)的动力学特性变化情况。

1)当h=0.4时，采用Lyapunov指数包，计算得系统(3)的Lyapunov指数LE1=0.044 392，LE2=-0.063 027，LE3=-9.781 365，系统(3)处于拟周期状态。这时，系统(3)在x-y平面的相图，用四阶龙格库塔法在matlab2008中的求解结果如图2a所示。

图1 系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图Fig.1 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram

2)当h=1.0时，采用Lyapunov指数包，计算得系统(3)的Lyapunov指数LE1=0.027 530，LE2=-0.006 675，LE3=-10.668 625，系统(3)处于拟周期状态。系统(3)在y-z平面的相图，用四阶龙格库塔法在matlab2008中的求解结果如图2b所示。

3)当h=2.8时，采用Lyapunov指数包，计算得系统(3)的Lyapunov指数LE1=2.102 897，LE2=0.002 314，LE3=-14.305 211，系统(3)处于混沌状态。系统(3)在y-z平面的相图，用四阶龙格库塔法在matlab2008中的求解结果如图2c所示。系统(3)中虚线表示运行系统(2)，实线表示运行系统(1)。

4)1个混沌的子系统和1个周期子系统切换后系统为混沌。当h=5.0时，采用Lyapunov指数包，计算得系统(3)的Lyapunov指数LE1=1.814 621，LE2=0.003 568，LE3=-16.218 189，系统(3)处于混沌状态。这时，系统(3)在y-z平面的相图，用四阶龙格库塔法在matlab2008中的求解结果如图2d所示。

5)2个周期的子系统切换后系统变为混沌，当h=8.0时，采用Lyapunov指数包，计算得系统(3)的Lyapunov指数LE1=0.848 959，LE2=-0.000 682，LE3=-18.248 277，系统(3)处于混沌状态。这时，系统(3)在y-z平面的相图，用四阶龙格库塔法在matlab2008中的求解结果如图2e所示。

图2 系统(3)在y-z平面的相图Fig.2 y-z phase portrait of system (3)

3 自动切换混沌系统的计算机辅助证明

3.1 理论依据

本文利用Yang等提出的拓扑马蹄引理证明自动切换混沌系统存在拓扑马蹄[11-13]。拓扑马蹄引理的主要内容可以概括为：如果X是一个可分的度量空间，Q是这个度量空间X的紧子集，f:Q→X,且存在m个互不相交的紧致子集Q1,Q2,…,Qm，f|Qi是连续的。若存在f连接簇，则将存在一个紧不变子集QI⊂Q,使得f|QI与一个m移位映射半共扼。

对于连接簇f的定义是，设Γ是Q的紧子集，如果Γi=Γ∩Qi(i=1,2,…,m)是紧致的和非空的，则Γ就被称为对应于Q1,Q2,…,Qm的连接。令F为一簇对应于Q1,Q2,…,Qm的连接，如果满足Γ⊂F⟹f(Γi)⊂F。F就称为对应于Q1,Q2,…,Qm的f连接簇。

设m移位映射σ是一个度量空间到其本身的映射，也就是

σ(s)i=i+1,

(5)

这个映射的拓扑熵ent(σ)=lnm。

如果2个动力系统(X,f)与(Y,g)是半共扼的，则f的拓扑熵不小于g的拓扑熵，也就是ent(f)≥ent(g)。

根据拓扑马蹄引理，可以进一步得到ent(f)≥ent(σ)=lnm，若m>1,则动力系统f就是混沌的。

3.2 辅助证明[12-13]

下面选取自动切换混沌系统(3)在y=-8.5时Poincaré截面，同时定义一个一次回归Poincaré映射，证明该混沌系统的一次回归Poincaré映射与1个2移位映射半共扼，即这个系统的拓扑熵大于或等于ln2，且是混沌的。

系统(3)的相轨迹图和它的Poincare截面如图3所示，在y=-8.5平面内，选取一个截面X，它的4个顶点分别为：[-4 ，30],[14，30],[14，60],[-4，60]。定义一个一次回归Poincaré映射p:X→X，对于任意点x∈X，p(x)是由初始点x出发的自动切换混沌系统在X截面内的第一次回归映射或Poincaré映射。

图3 系统(3)的相轨迹图和它的Poincaré截面Fig.3 Attractor of system (3) and a suitable cross section

如果应用拓扑马蹄引理证明切换系统(3)存在拓扑马蹄，必须在截面X内找到2个或2个以上互相交的子集存在一个一次回归Poincaré映射p:X→X的连接簇，才能应用拓扑马蹄引理证明切换系统(3)的拓扑马蹄的存在性，从而证明切换系统的混沌吸引子的存在性。经过大量的尝试后，在X内发现了2个互不相交的子集Q1=|A1B1C1D1|和子集Q2=|A2B2C2D2|，其中子集Q1的4个顶点坐标为

A1=[0.441 449 814 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.189 526 184 999 998]，

B1=[1.157 063 197 000 000,-8.500 000 000 000 000,36.396 508 728 000 001]，

C1=[3.954 460 967 000 000,-8.500 000 000 000 000,39.014 962 594 000 004]，

D1=[3.108 736 059 000 000,-8.500 000 000 000 000,43.728 179 550 999 997]；

子集Q2的4个顶点坐标为

A2=[8.429 368 029 999 999,-8.500 000 000 000 000,50.012 468 828 000 003]，

B2=[8.763 940 520 000 000,-8.500 000 000 000 000,48.615 960 100 000 002]，

C2=[9.934 944 238 000 000,-8.500 000 000 000 000,50.187 032 418 999 998]，

D2=[9.544 609 664 999 999,-8.500 000 000 000 000,52.281 795 510 999 999]；

图4 子集Q1的像和子集Q2的像Fig.4 Image of Q1and Q2

4 系统的电路设计和实验结果

混沌系统的电路实现是验证混沌系统动力学行为的有效手段，也是混沌应用于工程实际的基础。混沌系统的电路实现主要分为两大类，一类是利用运算放大器、电阻和电容等分立元件形成各自独立的功能模块连接组成的电路模拟硬件实现；另一类则是采用超大规模FPGA、DSP等数字处理芯片经D/A转换输出构成电路数字实现，本文分别采用这2种方式实现了系统(3)。

4.1 模拟电路实现混沌系统

为了实现混沌系统(3)，设计了一个模拟电路如图5所示，电路包括两部分，基本电路和自动切换电路，基本电路由运算放大器、模拟乘法器、线性电阻和电容组成。运算放大器采用同相端接地，反相端输入的方法，它和线性电阻实现加减运算，和电容实现积分运算，乘法器实现乘法运算，自动切换电路由运算放大器和模拟开关及电阻组成，运算放大器采用LF347，乘法器采用AD633JN，模拟开关采用ADG409，其中C1=C2=C3=10 nF，R13=R20=5 kΩ，R15=R22=1 kΩ，R16=9.43 kΩ，R16=7.14 kΩ，R18=R23=100 kΩ，R21=13.5 kΩ，R24=80 kΩ，除R19外，其余电阻均为10 kΩ。当R19=35.7 kΩ时，对应参数h=2.8，在示波器上获得系统(3)在x-z平面的实物投影如图7所示，模拟电路实现结果与图2的数值计算结果符合得很好。

4.2 数字电路实现混沌系统

用数字电路实验混沌系统，首先需要对连续的混沌系统进行离散化，本文采用欧拉算法对系统(1)，(2)和(3)进行离散化处理，采用Matlab 2008a中的Simulink工具箱中的DSP Builder进行建模，将模型文件转换成基于Quartus II 9.0的工程文件，最后，下载到Altera公司的EP3C25Q240C8N芯片中，D/A采用的是TI的14位的DAC904高速DA转换器，实验系统如图6所示，当h=0.4，1.0，5，8时，在示波器上获得系统(3)的实物投影如图7所示，数字电路实现结果与图2的数值计算结果符合的很好。

图5 实现混沌系统(3)的电路图Fig.5 Circuit of implementing of system(3)

图6 数字电路实现混沌系统实物图Fig.6 FPGA evaluation board used to perform digital implementation

5 结论

本文构建了一个由2个子系统组成的自动切换混沌系统，通过对子混沌系统和自动切换混沌系统的Lyapunov指数谱和分岔图的对比分析，可以发现，相同参数下，自动切换系统与子系统具有完全不同的动力学行为；利用拓扑马蹄引理从理论上证明了切换混沌系统吸引子的存在性；通过模拟电路和数字电路实现了子混沌系统和切换混沌系统，用数字电路和模拟电路所得实验结果与计算机软件的计算结果完全一致，从而在理论和实验两方面证明了切换混沌系统的存在性，这在基于混沌的工程实践中是很有意义的。

图7 系统(3)在y-z平面的示波器上的实物投影Fig.7 Experiment observations results of system(3)

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(编辑：魏琴芳)

Analysis of properties of a switched Lorenz type chaotic system

WANG Zhonglin1,2, LIU Shutang1

(1. College of Control Science and Engineering, Shangdong University, Ji'na 250061,P.R.China; 2. College of Aeronautical Engineering Binzhou University, Binzhou 256603,P.R.China)

In order to promote the application of chaotic systems in engineering practice, this paper presents a Lorenz-type switched system composed of two subsystems. The new chaotic system is analyzed with Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. To present a computer assisted verification of chaos, the switching system is also studied by utilizing topological horseshoe theory. Physical verification has also been done in two different methods with an analog electronic circuit and a digital electronic circuit, respectively. Numerical analysis shows that the switched system has a larger chaotic region than its subsystems and the dynamics characteristics much different from subsystems. It also shows that numerical and experimental results are matches very well. The existence of the chaotic attractors is proved in both theory and experiment.

switched chaotic system; Lyapunov exponent spectrum；bifurcation diagram; circuit experiment; topological horseshoe

10.3979/j.issn.1673-825X.2017.01.011

2015-12-20

2016-06-21 通讯作者：王忠林 E-mail:bzcong@126.com

山东省自然科学基金(ZR2014FQ019)

Foundation Item：The Natural Science Foundation of Shangdong Province of China(ZR2014FQ019)

TN914.42

1673-825X(2017)01-0068-07