基于CMA-ES优化方法的波纹喇叭优化技术

孟则宇，杜 彪,2，解 磊

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；2.射电天文技术联合实验室，河北 石家庄 050081)

基于CMA-ES优化方法的波纹喇叭优化技术

孟则宇1，杜 彪1,2，解 磊1

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；2.射电天文技术联合实验室，河北 石家庄 050081)

介绍了旋转体时域有限差分法(BOR-FDTD)，导出了电磁场迭代计算公式。给出了自适应协方差矩阵进化策略(CMA-ES)的基本原理和步骤。提出了一种基于BOR-FDTD和CMA-ES的波纹喇叭优化设计技术，并将该项技术用于平方公里阵(Square Kilometre Array，SKA)望远镜天线Band 4(2.8～5.18 GHz)波纹喇叭馈源的优化设计。计算结果表明，该馈源在工作频带内反射损耗基本在-20 dB以下，天线口径效率均优于86.5%，且口径效率随频率的变化较小。

SKA；反射面天线;波纹喇叭；BOR-FDTD；CMA-ES

0 引言

作为一种快速高效的数值方法，模式匹配法[1]已广泛应用于波纹喇叭[2]的分析和设计。然而大张角波纹喇叭的空间场和内场之间存在较强的耦合效应，采用此方法分析会引入较大的误差。常规的三维全波分析方法(矩量法、有限元法和时域有限差分法等)能够较为精确地分析大张角波纹喇叭的性能，但其计算量大，分析时间较长，难于进行优化设计。针对以上问题，本文采用BOR-FDTD方法[3]对大张角波纹喇叭的性能进行了快速、高效和精确地分析，导出了电场和磁场的迭代计算公式。

CMA-ES是一种新型高效的全局优化算法，其已经在微带贴片天线[11]、便携式陶瓷谐振器天线[5]和平面超宽带天线等[6]的优化设计获得了应用，然而其在波纹喇叭优化设计问题中的应用尚无人探讨。基于BOR-FDTD分析方法和CMA-ES优化方法，本文研究了波纹喇叭的快速优化设计技术，并应用于SKA天线[7]的 Band 4 波纹喇叭馈源的优化设计。仿真结果表明，该馈源在工作频带内反射损耗基本小于-20 dB，天线口径效率均优于86.5%，且在工作频带内天线口径效率变化较小。

1 算法基本原理

1.1 BOR-FDTD 的基本原理

波纹喇叭在结构上具有旋转对称性，因此可以采用BOR-FDTD对其性能进行精确和高效的分析[8]。BOR-FDTD通过把电场和磁场进行傅里叶展开，利用时域有限差分法的基本原理求解波动方程，将计算区域从三维空间转换到一个二维的旋转对称面上，可以极大地节省计算资源和计算时间。

利用待分析结构在φ方向上的旋转对称性，将电场和磁场进行傅里叶展开：

(1)

(2)

(3)

(4)

进一步将式(3)和式(4)中的微分形式使用差分形式代替，可以得到差分形式的BOR-FDTD迭代公式。ρ方向的电场和磁场的迭代公式为：

(5)

(6)

式中，(i,j)为剖分网格的空间坐标，上标中的n代表时间步。同理可得φ和z方向上的电磁场迭代公式。

在波纹喇叭的分析中，端口采用主模TE11模式电场进行激励[9]，利用PML吸收边界模拟无限空间的电磁场传播，经过迭代计算得到计算区域每个网格的电磁场分量的数值，继而由近远场变换得到波纹喇叭的辐射方向图[10]。

1.2 CMA-ES的基本原理

CMA-ES算法[11]与一般进化算法相比其特点为：采用协方差矩阵自适应地调整种群的分布，然后通过种群的分布情况利用多变量正态分布采点来产生算法种群，并且还引入了进化路径累积的概念。下面对其基本原理和步骤进行简要介绍。

1.2.1 参数初始化

在优化开始前，首先需要设置种群的相关参数：均值m(0)，全局步长σ(0)，协方差矩阵C(0)，子代个体数λ，父代个体数μ，进化路径Pσ(0)和Pc(0)，最大迭代次数，以及算法的一些自适应参数。

1.2.2 种群采样

采样公式如下：

xk(g+1)=m(g)+σk(g)Nk(0,C(g))=

m(g)+σk(g)B(g)D(g)Nk(0,I)

(k=1,2,3,...,λ),

(7)

1.2.3 种群的评价与选择

算法通过对个体的适应度函数值进行评估，进行(μ,λ)截断选择，组成当前最优子群。

1.2.4 均值移动

当前的最优子群通过加权重组得到新的分布均值。

(8)

式中,xi:λ(g+1)为g+1代中排名在第i位的个体。

1.2.5 协方差矩阵自适应

先对协方差矩阵进化路径Pc更新：

m(g))/σ(g),

(9)

协方差矩阵C的调整公式如下：

C(g+1)=(1-c1-cμ)C(g)+c1(Pc(g+1)Pc(g+1)T+

(10)

式中，cc为Pc的更新学习速率，hσ为Heaviside函数，用于控制||Pc||的过大增长，μeff为方差有效选择质量，且1≤μeff≤μ，c1和cμ分别为C的“秩1”和“秩μ”的更新学习速率。

1.2.6 步长控制

步长控制也称为累积步长自适应调整，首先对步长进化路径Pσ的更新如下：

(11)

步长σ的更新公式为：

(12)

式中，cσ为Pσ的更新学习率，dσ为接近于1的阻尼系数，E(||N(0,I)||)为归一化进化路径在随机选择下的期望长度。

在CMA-ES算法中以上步骤循环往复，引导种群收敛于全局最优解。

2 基于BOR-FDTD和CMA-ES的波纹喇叭优化设计

2.1 优化设计流程

图1给出了基于BOR-FDTD和CMA-ES的波纹喇叭优化设计流程。首先对BOR-FDTD和CMA-ES进行参数初始化，定义结构变量，确定初始值。使用BOR-FDTD对建立的模型进行分析，得到照射电平、等化误差、交叉极化电平和反射损耗等性能参数，进而得到目标函数值。再利用CMA-ES对目标函数进行优化，直到满足指标要求为止。

图1 分析优化设计流程图

2.2 波纹喇叭的优化模型

以SKA天线的band 4馈源为优化实例，其性能要求为：工作频带为2.8～ 5.18 GHz，照射角为60°，边缘照射电平控制在-12～ -17 dB，峰值交叉极化电平小于-20 dB，反射损耗小于-20 dB。

图2为波纹喇叭结构示意图，在此模型的设计中主要分为3部分结构：① 圆波导开口处的台阶结构，用于减少反射损耗，设置每个台阶长度为b(i)，高度为v(i)；② 4个环加载形式的径向槽结构，每个槽设置槽深为d(i)，槽宽为w(i)；③ 在圆波导最外层的轴向槽结构用于减少漏失损耗，其宽度为h，深度为a。在优化中将这些结构的尺寸作为优化的参数，通过分析和优化程序确定结构的尺寸，以最终满足所预期的优化目标。

图2 波纹喇叭结构

波纹喇叭的设计目标是通过对其结构参数进行优化设计，尽可能地提高天线效率ηf，然而若要精确计算SKA天线的效率费时费力，因此本文采用文献[12]中给出的馈源效率因子计算公式来估算SKA天线的效率：

(13)

式中，ψ0为照射角，co(ψ)和xp(ψ)分别为波纹喇叭的45°面主极化和交叉极化辐射方向图。

在优化天线效率的同时要保证馈源工作频带内反射系数低于RLmax，照射角内峰值交叉极化电平(相对主极化最大值归一)小于XPLmax。设M为工作频带内频率采样点数，XPLm和RLm为第m个频点的峰值交叉极化和端口反射系数，则该问题可以抽象为以下目标函数的最小化问题：

f=1-ηf，

(14)

同时，应满足以下约束条件：

(15)

(16)

式中，RLmax和XPLmax均为-20 dB。采用精确罚函数法将原问题转化为无约束优化问题，从而该优化问题的目标函数为：

(17)

式中，M为一个处理约束的大数，从而保证不满足约束的解的目标函数值一定大于满足约束的解。

3 优化设计结果

最终优化得到的波纹喇叭开口处采用3个台阶结构，波纹槽数量为4个。如图2所示，其长度L相当于2.8 GHz时波长的1.16倍，开口直径D相当于2.64λ，优化出的馈源结构紧凑。

图3给出了优化后的波纹喇叭在60°照射角内的方向图，可见喇叭辐射方向图等化较好，交叉极化电平也能满足指标要求。

图4为2.8～5.18GHz频带内的反射损耗，在2.8GHz时反射损耗为18.3dB，在大部分工作频带内反射损耗小于-20dB。

将优化后的馈源带入到SKA赋形双偏置格里高利天线[13]中计算出的口径效率如图5所示。可见工作频带内天线口径效率均大于86.5%，并且在工作频带内天线效率波动较小，满足设计要求。

图3 60°照射角内方向图

图4 工作频带内反射损耗

图5 工作频带内天线口径效率

4 结束语

基于BOR-FDTD和CMA-ES提出了一种波纹喇叭优化设计技术，并成功应用于SKABand4 馈源的优化设计。优化结果表明，在工作频带内反射损耗基本小于-20dB，天线口径效率均优于86.5%，并且口径效率曲线波动较小。证明了该优化设计方法的正确性和有效性。本文所提出的优化设计技术可广泛用于其他旋转对称结构馈源喇叭的优化设计。

[1]JamesG.DesignofWide-BandCompactCorrugatedHorns[J].IEEETransactionsonAntennas&Propagation,1984,32(10):1134-1138.

[2] 许德森，张文静，秦顺友.小口径大张角波纹喇叭的优良设计 [J].无线电通信技术，2003，29(4)：49-50.

[3]DavidsonDB,ZiolkowskiRW.Body-of-revolutionFinite-differenceTime-domainModelingofSpace-timeFocusingbyaThree-dimensionalLens[J].IEEEAntennasandPropagation,1994,11(4): 1471-1490.

[4]GregoryMD,WernerDH.Multi-BandandWidebandAntennaDesignUsingPortSubstitutionandCMA-ES[C]∥2013IEEEAntennasandPropagationSocietyInternationalSymposium,2013: 598-599.

[5]FangXS,ChowCK,LeungKW,etal.NewSingle-/Dual-ModeDesignFormulasoftheRectangularDielectricResonatorAntennaUsingCovarianceMatrixAdaptationEvolutionaryStrategy[J].IEEEAntennasandWirelessPropagationLetters,2011,10:734-737.

[6]DaherEB,HoorfarA.NovelDesignofaPlanarUWBAntennawithEnhancedGainUsingaMixed-ParameterCMA-ESAlgorithm[C]∥RadioScienceMeeting,2014USNC-URSI:61-65.

[7] 杜 彪.大口径反射面天线技术综述[J].无线电通信技术,2016,42(1):01-08.

[8]ChenY,MittraR,HarmsP.Finite-differenceTime-domainAlgorithmforSolvingMaxwell’sEquationsinRotationallySymmetricGeometries[J].IEEETransactionsonMicrowaveTheory&Techniques,1996,44(6):832-839.

[9]PratherDW,ShiS.FormulationandApplicationofTheFinite-differenceTime-domainMethodforTheAnalysisofAxiallySymmetricDiffractiveOpticalElements[J].IEEETrans.Microw.TheoryTech.,1999,16:1131-1142.

[10]FarahatN,YuW,MittraR.AFastNear-to-Far-FieldTransformationinBodyofRevolutionFinite-DifferenceTime-DomainMethod[J].IEEETransactionsonAntennas&Propagation,2003,51(9):2534-2540.

[11]GregoryMD,WernerDH.Multi-BandandWidebandAntennaDesignUsingPortSubstitutionandCMA-ES[C]∥IEEEInternationalSymposiumonAntennasandPropagation&Usnc/ursiNationalRadioScienceMeeting,2013:598-599.

[12]KildalPS.FactorizationoftheFeedEffiencyofParaboloidsandCassegrainAntenna[J].IEEETransactionsonAntennasandPropagation,1985,33(8):903-908.

[13]刘胜文，杜 彪，伍 洋.双镜天线的主副镜扩展研究与设计[J].无线电通信技术,2015,42(1):61-64.

Design and Optimization of Corrugated Horn Based on CMA-ES

MENG Ze-yu1,DU Biao1,2，XIE Lei1

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081，China；2.Joint Laboratory for Radio Astronomy Technology ,NAOC & CETC54,Shijianzhuang Hebei 050081，China)

Body-of-revolution finite-difference time-domain (BOR-FDTD) algorithm is presented,and the formula for iterative computation of electromagnetic field is obtained.The principle and procedures of covariance matrix adaptation evolution strategy (CMA-ES) is introduced to optimize the structure parameters of the corrugated horn.An optimization method of corrugated horn based on BOR-FDTD and CMA-ES is proposed and is applied to the design of Band 4 feed for the SKA Dish.Optimization results show that the reflection loss is less than -20 dB over the operating frequency range,the aperture efficiency is better than 86.5%,and the efficiency variation with the frequency is small.

SKA;Dish;corrugated horn;BOR-FDTD;CMA-ES

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.01.17

孟则宇,杜 彪,解 磊.基于CMA-ES优化方法的波纹喇叭优化技术[J].无线电通信技术，2017，43(1):68-72.

2016-09-23

国家重点基础研究发展计划项目(2013CB837902)；国家高技术研究发展计划(863计划)项目(SS2014AA122001)；国家自然科学基金项目(11261140641)

孟则宇(1992—)，男，硕士研究生，主要研究方向：电磁场与微波技术。杜 彪(1962—)，男，博士，研究员，现任中国电子科技集团公司第五十四研究所首席专家、所副总工程师，主要研究方向：射电望远镜天线、卫星通信地球站天线、微波天线、馈源系统和阵列天线等。

TN820

A

1003-3114(2017)01-68-5