数列综合题的解答策略

■河北省临城中学2 0 1 4级0 2班 王旭飞

数列综合题的解答策略

■河北省临城中学2 0 1 4级0 2班 王旭飞

每年的高考数学试题中都有一道数列综合题,一般都是综合性比较高且比较难的题目。处理综合题当然是要讲究策略的,下面就根据自己在学习过程中的体会谈谈数列综合题的几个处理策略。

策略一：数列求和要学会先“和”再“分”的策略

已知数列{an}中的各项为:1 2、

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积。

(2)求这个数列的前n项之和Sn。

分析：这里所说的“和”是指由数列的前几项来获得数列通项公式的过程。先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,再进一步求和。

解：(1)

点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成”两个相邻正数的积,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

策略二：求数列的通项公式要学会“取倒”的策略;证明数列不等式要学会“放缩”的策略

已知数列{an}满足

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列,对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：(Ⅰ)因为所以

因为T1＜T2＜T3,所以对任意的n∈

点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项,第(Ⅲ)问不等式的证明要用到放缩的方法。

策略三：获取递推关系要学会利用函数的策略;数列求和要学会使用裂项的策略

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)求证:an+1＞an;

分析：本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种方法。

解：(1)由题意得又因为α为锐角,所以所以s所以f(x)= x2+x。

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式的证明更具有一般性。

策略四：求数列的通项公式要学会“构造”的策略;证明数列要学会观察连续三项间的关系的策略

已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1(n∈N*)。

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{an}满足4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+1)bn,证明:{an}是等差数列。

分析：对于第(1)问,通过把递推关系式构造成等比型的数列即可解决问题;求解第(2)问关键在于找出连续三项间的关系。

解：(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1= 2(an+1),故数列{an+1}是首项为a1+1= 2,公比为2的等比数列。所以an+1=2n,所以an=2n-1。

(2)因为4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+ 1)bn,所以4(b1+b2+…+bn-n)=2n bn。

所以2(b1+b2+…+bn)-2n=n bn。①

2(b1+b2+…+bn+bn+1)-2(n+1)= (n+1)bn+1。②

②-①得2bn+1-2=(n+1)bn+1-n bn,即n bn-2=(n-1)bn+1。③

所以(n+1)bn+1-2=n bn+2。④

④-③得2n bn+1=n bn+n bn+2,即2bn+1= bn+bn+2,所以数列{bn}是等差数列。

点评:实际上,由数列递推关系式求数列的通项公式,惯用的手段就是利用数列递推关系式构造一个新的等差或等比数列,再利用新的等差或等比数列来确定所求数列的通项公式。如果数列是等差或等比数列,则数列中连续三项间的关系就是一个等差中项或等比中项的关系,从而就可以确定数列。

(责任编辑 王福华)