分层教学在线性代数教学中的应用

刘洁晶++任金忠++苏冬梅++宋振源++李永壮++叶春凤++孙朝云

摘 要：随着新建本科院校向应用型技术大学的转变，对学生的学习动手能力的培养是教学改革的重要主题之一。分层教学适合不同学习能力程度的学生，因材施教，能很好地落实能力培养的教育目标，提高学生的实践动手能力。

关键词：线性代数；能力培养；分层教学；教学模式

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.01.134

在当前新建本科院校向应用型技术类大学转型的关键时期，学生能力培养成为当前新的教育理念。高校教师都知道“能力培养”，但在教学中，大都沿用“一言堂、一支笔、一讲到底”的教学模式，甚至课堂教学不是针对学生讲课，更不管学生能力的提升和学习成效，而是为了完成教学任务宣读课件。因此，如何在高校转型期落实学生能力培养的教育目标，提高学生的动手实践能力尤为重要。

本文初步探讨了线性代数教学中以能力培养为目标的分层教学法。在教学过程中，针对不同层次的学生因材施教，让学生逐渐增强自信心，自觉培养主动学习的好习惯。

1 学生现状分析

近年来，由于高校招生量的扩充，除了985和211工程之外的本科高校，学生层次有不小的差异，特别是理工类专科生，成绩相差较多，教学存在着一定难度，特别是高等数学、线性代数等课程，仍按照过去的教学模式，一把尺子衡量，效果欠佳，已经不适应当前的应用型教学规律。为了将理工科学生的基础课教好，根据学生的基础、特点、学习兴趣和学习目标，采取分层教学，很有必要。

2 线性代数分层教学实施方案

对于分层教学，教育界并没有定论，但都意识到了学生在某学科学习上存在的差异。按照差异对学生进行分层教学，主要包括班级分层、班内分层、走班教学等多种分层方法。这里主要介绍班内分层的教学模式。

班内分层是指保持原有班级制，根据学生的学习基础、智力水平、学习兴趣等因素，并结合学生的选择意愿，对学生进行分层，分层结果向学生公布，这样能够形成比较清晰的竞争机制，使每个学生在适合自己的层次取得满意的学习效果。

班内分层操作如下：首先，将全班学生按照数学成绩由高到低排序，将前20%的学生分为一组，中间60%的学生为一组，后20%的学生为一组，即按照262的模式将学生分为三个层次。在日常教学过程中，教师无论是课前准备、课堂讲授，还是习题解答等，都要体现262模式，即前几分钟对上节课所学知识、遗留的问题、学生作业等进行回顾和解答；中间半小时主要以启发式教学模式对新知识进行讲解，尤其是基本知识要详细讲解，确保每层学生都能消化、理解；最后十几分钟主要针对第一层学生进行知识扩展。最后面向全体学生进行知识小结，并留作业及预习任务。

3 分层教学案例分析

以线性方程组为例来说明分层教学的策略对学生学习的影响。

证明：如果线性方程组 ① 有解，

则线性方程组 ②的任一解

必满足线性方程组 ③.

证法1：利用以上三个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的关系及矩阵的秩与解的关系证明。

设方程组①为AY=b，其中 ， ，

则方程组②为A'X=θ，而方程组③为b′X=θ。由已

知方程组①有解，即 . 此时把方程组②与③

联立得 ，即 ④，由 得 ，

即b′可以被A′的各行线性表出。说明线性方程组④的最后一个方程b′X=θ是多余方程，故方程组②的解都是b′X=θ的解。

证法2：利用解的定义及二重和号的性质.将方程组①②③都用

一重和式表达，分别有 ①，

②， ③.

由已知①有解，故存在 使①成立，将①代入③，

并利用双重和号有交换次序的性质得

当 是②的任一解时，则有 ，代入上式可

化为 .即证明了当 是②的任一解时，也能使③成立，即为③的解。

证法3：利用矩阵运算来证。例如证法1中所设方程组①为AY=b有解Y；方程组②为A′X=θ，有解X；方程组③为b′X=θ。由①两边转置得Y′A=b′，再两边右乘以X得b′X=Y′A′X=Y′（A′X）=0.

对以上例题分析：利用三个线性方程组的解的系数及常数列的关系，由线性方程组的不同形式出发，得到不同的证法。以上三种证法利用了线性方程组的矩阵表达形式及矩阵的运算和秩的关系，如果全部掌握，需要对线性代数有较深的理解，才能运用自如。在对第一、二层次学生进行辅导时，可全部向其讲授这三种方法，對比解题思路，找出他们之间的联系。证法1对学生的能力要求高，必须能对问题进行适当转化调整，这也是学生所欠缺的。证法3用的矩阵方程两边同乘以矩阵的方法，在解线性方程组中常用，即如果AX=θ，两边左乘以b，得bAX=bθ=θ，则得到满足AX=θ的解都是bAX=θ的解。这种方法运用基本的线性代数运算方法，难度适宜，适合第三层次学生掌握。

4 线性代数分层教学的优缺点

从学生角度讲，分层教学是按照学生学习能力进行分层，有利于小组合作学习，有利于形成良性竞争机制，能充分调动学生学习线性代数的积极性。同时，分层教学充分体现尊重学生个体差异，保证对每个学生因材施教。由于学习成就是学生自身努力的结果，通过自己的踏实学习、独立分析问题和解决问题，能够看到成绩的提高，可以说分层教学也是一种变相激励机制。

从教师角度讲，分层教学要求教师要充分了解学生的整体情况，不能再沿用以往“大面灌”的教学方式，在教案的设计中要充分体现不同层级学生所要达到的学习目标，满足各层次学生的需求。这就倒逼教师在新形势下，要与时俱进、有教学改革的意识，加强学习，努力实现专业化成长，有利于教师从“传道授业”的普通身份向教学研究型转变。

但是，班内分层教学最大弊端会出现“马太效应”，是对教育公平理论的直接挑战，即有可能出现“让线性代数学习好的更加好、差的更加差”，这就与分层教学的初衷相违背。这种弊端容易使第三层学生的自尊心受到伤害，从而更加导致自主学习能力的下降，使学习仅仅为了应付考试。

5 线性代数分层教学应注意的问题

实行分层次教学，考核方式是一个值得探讨的复杂问题，不同层次不同类别不同专业采用不同的考核方式和内容显然是合理的，但这种方式合理性对于成绩较差的学生显然有些宽泛和迁就，对于高层次的较弱生显然又有些苛刻和欠合理，导致学生情绪的波动和成绩的两极分化，不利于不同层次学生的共同发展，也会阻碍学生的参与度，影响教学质量的提高，因此，这些问题应继续探索。

参考文献

[1]刘洁晶，任金忠.线性代数课程分层教学探讨[J].衡水学院学报，2016（18）.

[2]赵庆涛.在高中数学教学中分层教学与分班教学的利与弊[D].延边：延边大学，2015.

[3]张金玲.分层教学法在线性相关概念教学中的实践与研究[J].科技信息，2011（31）.

[4]原江涛，王彩虹.关于线性代数教学有效性的探索[J].科教文汇（上旬刊），2014（5）.

〔编辑：王霞〕